§ 2 正交多项式

一、 勒让德多项式

[勒让德多项式的母函数] 由函数按展开：

来定义勒让德多项式序列

函数称为的生成函数或母函数.

[勒让德多项式的表达式]

······················ ··································

（末菲表达式）

[勒让德微分方程]

[勒让德多项式的正交性]

[不等式与特殊值]

[递推公式与导数公式]

（递推关系）

二、 第一类契贝谢夫多项式

[第一类契贝谢夫多项式的母函数] 由母函数按展开：

来定义第一类契贝谢夫多项式序列.

[第一类契贝谢夫多项式的表达式]

··················· ·················

[第一类契贝谢夫微分方程]

[第一类契贝谢夫多项式的正交性]

[不等式与特殊值]

[递推公式与导数公式]

（递推公式）

三、 第二类契贝谢夫多项式

[第二类契贝谢夫多项式的母函数] 由母函数按展开：

来定义第二类契贝谢夫多项式序列.

[第二类契贝谢夫多项式的表达式]

………………………

[第二类契贝谢夫微分方程]

[第二类契贝谢夫多项式的正交性]

[不等式与特殊值]

[递推公式与有关公式]

（递推公式）

四、 拉盖尔多项式

1. 一般拉盖尔多项式

[一般拉盖尔多项式的母函数] 由母函数按展开：

来定义一般拉盖尔多项式序列.

[一般拉盖尔多项式的表达式]

式中为库默尔函数，是阶贝塞耳函数。特别

[一般拉盖尔微分方程]

[一般拉盖尔多项式的正交性]

[不等式与特殊值]

[递推公式与有关公式]

（递推公式）

式中是埃尔米特多项式。

2. 拉盖尔多项式

一般拉盖尔多项式中，当时，定义

为拉盖尔多项式.它的相应公式为

（母函数展开）

········································

（拉盖尔微分方程）

（正交性）

（递推公式）

五、 埃尔米特多项式

[埃尔米特多项式的母函数] 由母函数按展开：

来定义埃尔米特多项式序列.

[埃尔米特多项式的表达式]

·······················

式中为库默尔函数.

[埃尔米特多项式的渐近表达式]

[埃尔米特微分方程]

[埃尔米特多项式的正交性]

[不等式与特殊值]

[递推公式与有关公式]

（递推公式）

[带权的埃尔米特多项式] 是以为权函数的埃尔米特多项式，

其表达式为

与的关系为

六、 雅可比多项式

[雅可比多项式的母函数] 由母函数按展开（其中）：

来定义雅可比多项式序列.

[雅可比多项式的表达式]

式中F为超几何函数。

[雅可比微分方程]

[雅可比多项式的正交性]

[不等式与特殊值]

式中是最靠近点的两个极大值点之一.

[递推公式与有关公式]

（递推公式）

七、 盖根堡多项式

[盖根堡多项式的母函数] 由母函数按的展开式

来定义盖根堡多项式序列又称为特种球多项式.

[盖根堡多项式的表达式]

式中为超几何函数.

······················································

[盖根堡微分方程]

[盖根堡多项式的正交性]

[不等式与特殊值]

且不为整数）

（不为整数，且

[递推公式与有关公式]

（递推公式）