§ 3 超几何函数
一、
高斯超几何级数*
[高斯超几何级数及其解析开拓]
称为高斯超几何级数,它是超几何微分方程
的解,并在内单值解析.
是高斯超几何级数到除去的平面内的解析开拓,也称为超几何函数.
[超几何函数的积分表达式]
积分路线的选取,应使函数的极点在路线左边,函数的极点在路线右边.
该积分式称为巴恩斯积分表示.
[递推公式与有关公式]
[变换公式]
式中
式中
[渐近表达式]
固定,
固定,
当时,变换公式为的渐近表达式.
二、
库默尔函数(合流超几何函数)
[库默尔函数及其积分表达式]
级数
称为库默尔函数(或合流超几何函数),它分别是变量和参数的整函数.它满足库默尔微分方程
它的积分表达式有
积分路线的选取,应使函数的极点在积分路线左边,的极点在积分路线右边.该式称为的巴恩斯积分表示.
[递推公式与有关公式]
(库默尔变换)
[渐近表达式]
有界,
式中“”号这样选取:当时取正号,
当时取负号)