§ 3 超几何函数

 

一、     高斯超几何级数*

 

[高斯超几何级数及其解析开拓]

   

                                                  

称为高斯超几何级数,它是超几何微分方程

       

的解,并在内单值解析.

       

                                                      

是高斯超几何级数到除去平面内的解析开拓,也称为超几何函数.

[超几何函数的积分表达式]

   

                               

积分路线的选取,应使函数的极点在路线左边,函数的极点在路线右边.

该积分式称为巴恩斯积分表示.

[递推公式与有关公式]

   

   

   

   

   

   

   

[变换公式]

            

            

                                           

式中   

         

         

         

       

         

          

         

        

式中   

         

         

         

       

         

         

         

   

   

   

   

       [渐近表达式]

      

                          固定,

      

           固定,

       时,变换公式的渐近表达式.

 

二、      库默尔函数(合流超几何函数)

 

[库默尔函数及其积分表达式]  级数

   

称为库默尔函数(或合流超几何函数),它分别是变量和参数的整函数.它满足库默尔微分方程

                         

它的积分表达式有

   

                            

   

                                  

积分路线的选取,应使函数的极点在积分路线左边,的极点在积分路线右边.该式称为的巴恩斯积分表示.

[递推公式与有关公式]

   

   

                  (库默尔变换)

   

   

   

[渐近表达式]

                    有界,

                

              式中号这样选取:当时取正号,

                                         时取负号)

                             

 



* 超几何级数的一般形式是

    

   式中称为分子参数,称为分母参数.收敛性如下:

   时,对所有有限的都收敛.

   时,对满足都收敛.

   时,对所有的都发散.