§ 4 勒让德函数
一、
勒让德函数的定义
[第一类勒让德函数]
它在除去的
平面内单值解析.
[第二类勒让德函数]
它在除去的
平面内单值解析.
它在除去的
平面内单值解析.
[一般勒让德函数]
它们在除去的
平面内单值解析,并且是勒让德微分方程
的两个线性无关解.
当时,它们分别是第一、二类勒让德函数.
当为正整数)时有
对于有
(当时,即为勒让德多项式
二、
勒让德函数的其他表达式
|
式中为
平面上的一条正向的简单闭曲线(图12.2),包围点是
和
,但不包围点
.
当(或当
为整数)时,
|
其中积分路线见图12.3.当
时,
三、
勒让德函数的递推公式与有关公式
上述公式对于也适用,只需把公式中的P换为
.利用
可得出区间上相应的递推公式,对于
也有类似公式.
四、
勒让德函数的正交性
这里只讨论函数为正整数,
的正交性,公式如下
五、
勒让德函数的渐近表达式与不等式
[渐近表达式]
[不等式]
不等式中为实数,且
为正整数.