§5 贝塞耳函数
一、
第一类贝塞耳函数
[第一类贝塞耳函数的定义与表达式]
称为第一类阶贝塞耳函数,它在除去半实轴的平面内单值解析(当为整数时,在全平面上解析).它满足贝塞耳微分方程
方程中常数(实数或复数)称为方程的阶或解的阶.
当(整数)时,是的母函数:
=
且有
[积分表达式]
(泊松积分表示)
(贝塞耳积分表示)
|
在点,
积分路线如图的“”字形,在点
[有关公式]
其中为函数的两个正零点.
其中为函数的两个正零点,且,是任意给定的常数.
(加法公式)
其中和表示原点到平面上任意两点的距离,为和的交角.
[渐近表达式]
固定,
固定,
(其中
二、
第二类贝塞耳函数(诺伊曼函数)
[第二类贝塞耳函数的定义与其他表达式]
称为第二类贝塞耳函数(有的书中也记作),又称为诺伊曼函数,它也是贝塞耳微分方程(1)的解,式中为第一类贝塞耳函数,
和在除去半实轴的平面内的单值解析.
整数)
为欧拉常数)
[积分表达式]
[渐近表达式]
固定,
三、
第三类贝塞耳函数(汉克尔函数)
[第三类贝塞耳函数的定义与表达式]
称为第三类贝塞耳函数,和分别称为第一类和第二类汉克尔函数,它们在除去半实轴的平面内单值解析,且满足贝塞耳微分方程(1).
[积分表达式]
|
正整数,
积分路线如图12.5.
[渐近表达式]
固定,
固定,
四、
各类贝塞耳函数之间的关系与有关公式
[自递推关系] 下面表示贝塞耳函数及.
[各类贝塞耳函数之间的关系]
[其他有关公式]
五、
变型贝塞耳函数
[变型贝塞耳函数的定义与表达式]
分别称为第一类和第二类变型贝塞耳函数,也称为白塞特(Basset)函数,它们在除去半实轴的平面内单值解析
(为正整数)
为欧拉常数)
[积分表达式]
为整数)
[有关公式]
[渐近表达式]
固定,
式中“”号这样选取:当时,取正号,时,
取负号.