§2 一阶偏微分方程

 

一、        柯西-柯娃列夫斯卡娅定理

 

    [一阶偏微分方程的通解]  一阶偏微分方程的一般形式Û

,其中

如解出p1,可得:

p1 = f (x1 , x2 ,, xn , u , p2 ,, pn )

    当方程的解包含某些“任意元素”(指函数),如果适当选取“任意元素”时,可得方程的任意解(某些“奇异解”除外),则称这样的解为通解.

    在偏微分方程的研究中,重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解,而不在于求通解.

    [一阶方程的柯西问题]

称为柯西问题,式中为已知函数,对柯西问题有如下的存在惟一性定理.

    [柯西柯娃列夫斯卡娅定理]    f ( x1 , x2 xn , u , p2  pn ) 在点 ( x10 , x20  xn0 , u0 , p20  pn0 ) 的某一邻域内解析,而在点( x20 xn0 ) 的某邻域内解析,则柯西问题在点 ( x10  xn0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.

    这个定理应用的局限性较大,因它要求f及初始条件都是解析函数,一般的定解问题未必能满足这种条件.

    对高阶方程也有类似定理.

 

二、        一阶线性方程

 

    1      一阶齐次线性方程

    [特征方程 特征曲线 初积分(首次积分)]  给定一阶齐次线性方程

                  (1)

式中ai为连续可微函数,在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组

      ( i = 1,2n )          

             (2)

称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l: xi = xi (t) ( i=1,2n )满足特征方程(2),就称曲线l为一阶齐次线性方程的特征曲线.

    如果函数 ( x1 , x2 xn )在特征曲线上等于常数,即

( x1(t) , x2(t)  xn(t) ) = c

就称函数 ( x1, x2 xn )为特征方程(2)的初积分(首次积分).

    [齐次方程的通解]

    1o  连续可微函数u = ( x1, x2 xn ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是: ( x1, x2 xn )是这个方程的特征方程的初积分.

    2o  i ( x1 , x2  xn )  ( i = 1,2 n) 是特征方程(2)在区域D上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D内的每一点,矩阵

的秩为n) ,则

u = ( 1 ( x1 , x2  xn )  n-1 ( x1 , x2  xn ) )

是一阶齐次线性方程(1)的通解,其中n个变量的任意连续可微函数.

    [柯西问题]  考虑方程的柯西问题

式中 ( x2  xn )为已知的连续可微函数.

    i ( x1 , x2  xn )  ( i = 1,2 n) 为特征方程的任意n个相互独立的初积分,引入参变量  (),从方程组

解出x2  xn

则柯西问题的解为

u = ( 2 ( 1 , 2  n-1 )  n ( 1 , 2  n-1 ) )

    2      非齐次线性方程

    它的求解方法与拟线性方程相同.

 

三、        一阶拟线性方程

 

    一阶拟线性方程为

其中aiRx1 , x2  xn , u的连续可微函数且不同时为零.

    [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]

为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l: xi = xi (t) ( i=1,2n ) , u = u(t) 满足特征方程,则称它为拟线性方程的特征曲线.

    i ( x1 xn,u )  ( i = 1,2 n) 为特征方程的n个相互独立的初积分,那末对于任何连续可微函数

( 1 ( x1 xn , u) , 2 ( x1 xn , u)  n ( x1 xn , u) ) = 0

都是拟线性方程的隐式解.

    [柯西问题]  考虑方程的柯西问题

为已知的连续可微函数.

    1 ( x1 , x2  xn , u)  n ( x1 , x2  xn , u) 为特征方程的n个相互独立的初积分,引入参变量 ,

解出 x2  xn , u

则由

给出柯西问题的隐式解.

 

四、        一阶非线性方程

 

    [完全解·通解·奇异解]  一阶非线性方程的一般形式为

    若一阶偏微分方程的解包含任意n个独立的常数,则称这样的解为完全解(全积分).

    V ( x1, x2  xn , u , c1 , c2cn ) = 0为方程的完全解,从

消去ci ,若得一个解,则称它为方程的奇异解(奇积分).

    以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系,设方程

有完全解

V (x,y,z,a,b)=0          ( a,b为任意常数),

则方程等价于从方程组

消去a,b所得的方程.

    利用常数变易法把a,b看作x, y的函数,将V (x,y,z,a,b)=0求关于x, y的偏导数,得

那末

V=0联立可确定a,b.有三种情况:

    1°  ,将其与V(x,y,z,a,b)=0联立可确定不含任意常数的奇异解.

    2°  ,即回到完全解.

    3°  时,必有,这时,如果不属于情形2° ,则ab存在函数关系:b=(a),这里为任意可微函数,并从方程V(x,y,z,a,b)=0消去a,b可确定方程的通解.

    定理  偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内.

    [特征方程·特征带·特征曲线·初积分]  在一阶非线性方程

中,设F对所有变量的二阶偏导数存在且连续,称

为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为xi=xi(t), u=u(t), pi=pi(t)   (i=1,2,,n)称它为非线性方程的特征带.x1,x2xn,u空间的曲线xi=xi(t), u=u(t)  (i=1,2,,n)称为非线性方程的特征曲线.如果函数在特征方程的任一解xi=xi(t) (i=1,2n), u=u(t), pi=pi(t)   (i=1,2n)上等于常数,即

那末函数称为特征方程的初积分.

    [求完全解的拉格朗日恰比方法]  考虑两个变量的情况.

    对于方程F(x,y,z,p,q)=0,选择使雅可比式的一个初积分G(x,y,z,p,q).解方程组

     (a为任意常数)

p(x,y,z,a)q(x,y,z,a).则方程

dz=pdx+qdy

的通解V(x,y,z,a,b)=0(b是积分dz=pdx+qdy出现的任意常数)就是方程F(x,y,z,p,q)=0的完全解.

      求方程的完全解.

      方程的特征方程为

这里成立

所以特征方程的一个初积分为z2p2 x2 .

    解方程组                  (a为任意常数)

                             

积分微分方程

得完全解

   (b为任意常数)

    [某些容易求完全解的方程]

    1°  仅含p,q的方程F(p,q)=0

    G=p是特征方程的一个初积分.F(p,q)=0p=a(a为任意常数)q=(a),积分

dz=adx+(a)dy

得完全解

z=ax+(a)y+b    (b为任意常数)

    2°  不显含x,y的方程F(z,p,q)=0

    特征方程为

因此qdp-pdq=0,显然为一个初积分,由F(z,p,q)=0q=pa(a为任意常数)解得p=(z,a).于是由

dz=(z,a)dx+a(z,a)dy

      (b为任意常数)

可确定完全解.

    3°  变量分离形式的方程

特征方程为

可取初积分Gi=fi(xi,pi) ,  (i=1,2n).fi(xi,pi)=ai    (i=1,2n)解出

pi=i(xi,ai)

得完全解

式中ai,b为任意常数,且.

    [克莱罗方程]  方程

称为克莱罗方程,其完全解为

ci微分得

       (i=1,2,,n)

与完全解的表达式联立消去ci即得奇异解.

      求方程zxpyqpq=0的完全解和奇异解.

      这是克莱罗方程,它的完全解是

z=ax+by+ab

    a,b微分,得x=b,y=a消去a,b得奇异解

z=xy

    [发甫方程]  方程

P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0                                             (1)

称为发甫方程,如果P,Q,R二次连续可微并满足适当条件,那末方程可积分.如果可积分成一关系式时,则称它为完全可积.

    1°  方程完全可积的充分必要条件   当且仅当P,Q,R满足条件

                                   (2)

时,存在一个积分因子(x,y,z),使

dU1=(Pdx+Qdy+Rdz)

从而方程的通解为

U1(x,y,z)=c

    特别,当时,存在一个函数U(x,y,z)满足

从而                             dU=Pdx+Qdy+Rdz

    所以方程的通解为

U(x,y,z)=c

    所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.

    定理  设对于发甫方程(1)在某区域D上的完全可积条件(2)成立,则对D内任一点M(x,y,z)一定有方程的积分曲面通过,而且只有一个这样的积分曲面通过.

    2°  方程积分曲面的求法

    设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面,把z看成x,y的函数(R(x,y,z)0),于是原方程化为

由此得方程组

发甫方程(1)与此方程组等价.

    把方程(3)中的y看成参变量,积分后得一个含有常数的通解

然后用未知函数代替常数,将代入方程(4),在完全可积的条件下,可得的一个常微分方程,其通解为

c为任意常数,代回中即得发甫方程的积分曲面

z=(x,y,(y,c))

    由于发甫方程关于x,y,z的对称性,在上面的讨论中,也可把xy看成未知函数,得到同样的结果.

      求方程yzdx+2xzdy+xydz=0的积分曲面族.

      容易验证完全可积条件成立,显然存在一个积分因用它乘原方程得

积分后得积分曲面族

xy2z=c

    也可把方程化为等价的方程组

y看成参变量积分得通解

用未知函数代替代入方程

积分后有

所以原方程的积分曲面族是

xy2z=c

 

五、        一阶线性微分方程组

 

    [一阶线性偏微分方程组的一般形式]  两个自变量的一阶线性方程组的形式是

                               (1)

其中Aij,Bij,Cij,Fi,aij,bij,fi(x,t)的充分光滑函数.

    [特征方程·特征方向·特征曲线]

称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t)满足特征方程的方向称为该点的特征方向.如果一条曲线l,它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致,那末称曲线l为特征曲线.

    [狭义双曲型方程与椭圆型方程]  如果区域D内的每一点都存在n个不同的实的特征方向,那末称方程组在D内为狭义双曲型的.

    如果区域D内的每一点没有一个实的特征方向,那末称方程组在D内为椭圆型的.

    [狭义双曲型方程组的柯西问题]

    1°  化方程组为标准形式对角型

    因为det(aij-ij)=0n个不同的实根1(x,t) n(x,t),不妨设

那末常微分方程

的积分曲线li  (i=1,2,,n)就是方程组(1)的特征曲线.

    方程

的非零解(k(1) k(n))称为对应于特征方向k的特征矢量.

    作变换

可将方程组化为标准形式对角型

    所以狭义双曲型方程组可化为对角型,而一般的线性微分方程组(1)如在区域D内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话,(此时不一定要求 i都不相同),就称这样的微分方程组在D内为双曲型的.

    2°  对角型方程组的柯西问题

    考虑对角型方程组的柯西问题

i(x)[a,b]上的连续可微函数.ij,i,i在区域D内连续可微,在D内可得相应的积分方程组

式中为第i条特征曲线li上点(x,t)与点(xi,0)之间的一段,(xi,0)lix轴上[a,b]的交点.上式可以更确切地写为

                                    (i=1,2n)

式中xi=xi(x°,t°,t)为过点(x°,t°)的第i条特征曲线,利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令

序列{vi(k)} (k=0,1,2)一致收敛于积分方程的连续可微解vi(x,t)  (i=1,2n),这个vi(x,t)也就是对角型方程组的柯西问题的解.

    设在区域D内对角型方程组的柯西问题的解存在,那末解与初值有下面的关系:

    (i)    依赖区间:过D中任意点M(x,t)作特征曲线l1,ln,交x轴于B,A,称区间[A,B]M点的依赖区间(14.1(a)),解在M点的值由区间[A,B]的初值确定而与[A,B]外的初值无关.

    (ii)   决定区域:过点A,B分别作特征曲线ln,l1,ln,l1 与区间[A,B]围成的区域D1为区间[A,B]的决定区域(14.1(b)),在区域D1中解的值完全由[A,B]上的初值决定.

    (iii)  影响区域:过点A,B分别作特征曲线l1,lnl1,ln[A,B]围成的区域D2为区间[A,B]的影响区域(14.1(c)).特别当区间[A,B]缩为一点A时,A点的影响区域为D3(14.1(d)).在区域D2中解的值受[A,B]上的初值影响,而在区域D2外的解的值则不受[A,B]上的初值影响.

14.1

 

    [线性双曲型方程组的边值问题]  以下列线性方程组来说明

                                   (1)

    1°  第一边值问题(广义柯西问题)  设在平面(x,t)上给定曲线段,它处处不与特征方向相切.A,B分别引最左和最右的特征曲线l1l2.要求函数u(x,t),v(x,t)l1l2围成的闭区域上满足方程组,且在上取给定的函数值(14.2(a)).

    2°  第二边值问题(古沙问题)  l1是过P点的第一族特征线,l2是第二族特征线,在l1的一段PA上给定v(x,t)的数值,在l2的一段PB上给定u(x,t)的数值,过A点作第二族特征线,过B点作第一族特征线相交于Q.求在闭区域PAQB上方程组的解(14.2(b)).

    3°  第三边值问题  AB为非特征曲线的曲线弧,AC为一特征线弧,且在ABAC之间不存在过A点的另外特征曲线,C点作第二族特征线与过B点的第一族特征线交于E点,在AC上给定v(x,t)的数值,在AB上给定u(x,t)的数值,求ACEBA所围成的闭区域D上的方程组的解(14.2(c)).

14.3

                                     14.2

    [边值问题的近似解特征线法]  以上定解问题,可用逐步逼近法求解,也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.

    在曲线ABn个分点A1,A2, An并记AA0BAn+1A0A0的第二特征方向作直线与过A1A1的第一特征方向作直线相交于B0;过A1A1第二特征方向作直线与过A2A2的第一特征方向作直线相交于B1最后得到Bn(14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u(x,t),v(x,t)Bi   (i=0,1,2,,n)的数值:

于是在一个三角形网格的节点上得到u,v的数值.再经过适当的插值,当n相当大,AiAi+1的距离相当小时,就得到所提问题的足够近似的解.

    [特殊形式的拟线性方程组可化约系统]  一般的拟线性方程组的问题比较复杂,目前研究的结果不多,下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组可化约系统.如果方程组

中所有的系数只是u,v的函数,称它为可化约系统.

    考虑满足条件

的方程组的解u=u(x,t),v=v(x,t).x,t可以表示成u,v的函数,且

原方程化为

这是关于自变量u,v的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足的解,化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件 的解,在(x,t)平面上的象即为原来拟线性方程组的解.



Û 在有些书中写作