第十五章 积分方程
积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。
§1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程
一. 积分方程一般概念
1. 积分方程的定义与分类
[线形积分方程] 在积分号下包含未知函数y(x)的方程
(1)
称为积分方程。式中α(x),F(x)和K(x,ξ)是已知函数，λ,a,b是常数，变量x和ξ可取区间(a,b)内的一切值；K(x,ξ)称为积分方程的核，F(x)称为自由项，λ称为方程的参数。如果K(x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F(x)≡0 ，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。
[一维弗雷德霍姆积分方程（Fr方程）]
第一类Fr方程
第二类Fr方程
第三类Fr方程
[n维弗雷德霍姆积分方程]
称为n维弗雷德霍姆积分方程，式中D是n维空间中的区域，P,P1ÎD，它们的坐标分别是(x1,x2,L,xn)和
,a(P)=a(x1,x2,L,xn),F(P)=F(x1,x2,Lxn)和K(P,P1)=K(x1,x2,L,xn, 
是已知函数，f(P)是未知函数。
关于Fr方程的解法，一维和n(>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr方程。
[沃尔泰拉积分方程] 如果积分上限b改成变动上限，上面三类Fr方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。
由于第三类Fr方程当a(x)在(a,b)内是正函数时，可以化成
它是含有未知函数
以
为积分方程的核的第二类Fr方程。所以本章重点研究一维第二类Fr方程。
2. 积分方程与微分方程之间的关系
某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微分方程的初值问题：
（2）
若从方程(2)中解出
，然后在区间(a,x)上对x求积分两次，利用初始条件，经过简单的计算不难得出*，
令
和
上式就可写为如下的形式:
(3)
这是一个第二类沃尔泰拉方程，核K是x的线性函数。
例1
初值问题
(4)
变为积分方程
(5)
反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其第一次求导的结果中令x=a,就得给定初始条件。在例1中，对(5)式求导，得出
(6)
再求导一次得出原微分方程(4)，并从方程(6)和(5)给出初始条件
y(0)=1, 
对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。
例2
从问题
出发，积分两次，导出关系式
从此立刻可知条件y(0)=0成立。从第二端点条件y(a)=0决定C：
所以有关系式
(7)
令
则方程(7)变为
(8)
这是第二类Fr方程。要从这个积分方程回到微分方程，只需对方程(8)求导两次，就得到
在积分方程(7)中，令x=0和x=a,可以直接推出边值条件y(0)=y(a)=0。
注意：在这个例中，
1° 
在x=ξ处不连续，并当x增加而过ξ时有一跳跃-1。
2° K是x的一个线性函数，即满足
，且K 在端点x=0,x=a处等于零。
3° K(x,ξ)=K(ξ,x),即核是对称的。
如果利用类似的方法，对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题：
则除A=0外，可得在x=ξ不连续的一个核。
二、格林函数及其物理意义
[格林函数] 在区间[a,b]上，考虑微分方程
Ly+Φ(x)=0
的边值问题，式中L是微分算子：
齐次边界条件为在端点x=a, x=b处，满足
，其中α,β为常数。
为了得出这个问题解的形式，首先构造函数G,使对一给定数ξ，
并且满足条件：
(i) 函数G1和G2在它们的定义区间上满足LG=0,即当x<ξ时,LG1=0;当x>ξ时，LG2=0。
(ii)
函数G满足边界条件，即G1满足在x=a的边界条件，G2满足在x=b的边界条件。
(iii)
函数G在x=ξ连续，即G1(ξ)=G2(ξ)。
(iv)
G的导数以x=ξ为一不连续点，其跳跃是
，即
可以证明，若以ξ为参数的这个函数G存在，则原问题的解有如下的形式：
(2)
例如G(x,ξ)可取
(3)
式中A是由关系式
决定的一个常数，u(x)是Ly=0满足在x=a处所给定的齐次边值条件的一个解，v(x)是在x=b处满足边值条件的一个解。则G(x,ξ)显然满足条件(i)~(iv)。
此外，还可证明，对由(3)定义的G(x,x),由关系式(2)确定的函数y满足微分方程(1)并且满足u(x)在x=a与v(x)在x=b所规定的相同的齐次边界条件。
满足条件（i）~(iv)或由(3)式所定义的函数称为与微分表达式Ly和边界条件相联系的格林函数。在许多物理问题中，这个函数具有简单的物理意义，将在下一段中说明。
[线性积分方程的一个典型实例] 考虑一条长为l的有弹性的弦，假定在平衡位置时，弦的位置在Ox轴的线段Ol上。在点x施加单位力，于是弦的每一点得到一个离差，在点x处所产生的离差以G(x,x)表示（图15.1）。函数G(x,x)为两点（x和x）函数，在点x施加外力，在点x计量离差，称G为影响函数。
如果弦的两端固定在x轴上A,B两点，弦的张力为T0,则在点x外处施加的单位力作用下，弦成图15.1所示的形状。根据虎克（Hooke）定律与力的平衡条件，在点x处有
这就是弦的影响函数。
从能量守恒定律可导出G(x,x)的互易原理：在点x处施加外力在点x处产生的离差等于在点x处施加大小相同的力在点x处产生的离差，即
G(x,x)=G(x, x)
如果在弦上施加的力F是连续分布的，并设线性强度是p(x),则作用于弦上点x和x+Dx之间的一小弦段的力就接近于p(x)Dx。把引起弦变形的这些力元素相加，便得弦的形状
1° 设在某个力的作用下，弦成已知形状y=y(x),求定力分布强度p(x),就得到含未知函数p(x)的第一类Fr积分方程
(1)
2° 设作用力随时间t改变，且在点x的强度是
p(x)sinw t
(w >0)
则弦的运动是由方程
y=y(x)sinw t
描写的周期运动。
设r(x)为弦在点x的线性密度，则在时刻t,点x与x+Dx之间的小弦段除受力p(x)sinw tDx的作用外，还受惯性力
sinw tDx
的作用，则等式(1)可化为如下的形式：
(2)
式中
K(x,x)=G(x,x)r(x),
l=w2
如果函数p(x)给定，那么F(x)也就给定，这样积分方程(2)就是确定函数y(x)的Fr方程。注意，由于F(x)的定义，有
F(0)=F(l)=0
若密度r(x)=r是常数，而F(x)有二阶的连续导数，则方程(2)的解为
即
(3)
式中
把(3)式微分两次就得到
另一方面，可以证明这个微分方程的任一在x=0及x=l处等于0的解是积分方程(2)的解。
三、
具有可分离核（退化核）的Fr方程
[可分离核（退化核）] 若核K(x,x)可分解为如下的形式：
则称K(x,x)为可分离核或称为退化核。不妨假定n个函数fk(x) (k=1,2,L,n)在有关区间上是线性无关的。
例如，如果核是关于x和x的任一多项式，那么这个核就是退化核，核sin(x+x)也是退化核。
[具有可分离核的第二类Fr方程解法] 具有可分离核的第二类Fr方程
(1)
即
(2)
的解法如下，首先设
(k=1,2,L,n)
则
于是给定积分方程(1)的一切解应取这个形式。因此问题归结为求出常数c1,c2,L,cn。
再用gi乘(2)式两边且积分，令
，
（i=1,2,L,n , j=1,2,L,n）
则c1,c2,L,cn满足方程组
（i=1,2,L,n）
即
（3）
矩阵形式为
（I-lA）c=b
式中I为n阶单位矩阵，A=(aij),c= (c1,c2,L,cn)t, b= (b1,b2,L,bn)t。这个方程组存在唯一解的充分必要条件是：方程的系数行列式
D=det（I-lA）¹0
如果F(x)º0,则bi=0(i=1,2,Ln)，那末方程(3)为齐次方程组。因此,当D¹0时，y(x)º0是积分方程(1)的平凡解（零解），且是唯一解。当D=0时，至少有一个ci可以任意指定，其余的cj可以求出，于是积分方程(1) 存在无穷多个解。
使D=0的l值称为特征值。齐次积分方程的任一非平凡解称为对应于积分方程的特征函数。
如果对于l的一个给定的特征值，可以从常数c1,c2,L,cn中任意指定r个，那么可得到r个线性无关的对应特征函数。
如果F(x)不恒为零,但与g1(x), g2(x), L,gn(x)正交，即bi=0
(i=1,2,Ln)。那末方程组(3)仍为齐次的，以上的讨论也适用，除非这里积分方程的解也包含函数F(x)。这样平凡值 c1= c2=L= cn=0导出解y=F(x)。对应于l的特征值的解是F与特征函数的任意倍数之和。
最后，如果(3)式右边的bi至少有一个不为零，当行列式D¹0时，方程组(3)存在唯一的非平凡解，于是可得到积分方程(1)的唯一的非平凡解，当D=0时，则方程(3)或者是不相容的，这时积分方程(1)没有解；或者n个方程中至少有两个是相同的，这时积分方程(1)有无穷多个解。
例 解积分方程
(1)
解 可把这个方程改写为
y(x)=l(c1-3c2x)+F(x)
(2)
式中
，
决定c1,c2的方程组是
(3)
其系数行列式为
则积分方程(1)存在唯一解的条件是l¹±2。由(3)解出c1,c2并代入(2)得到(1)的解。特别，若F(x)=0,
l¹±2,则唯一解是平凡解y(x)=0。数λ=±2为问题的特征值。
若λ=2，则方程组(3) 为
这两个方程是不相容的，除非函数F(x)满足条件
这时两个方程相同。
若λ=-2，则方程组(3) 为
这两个方程也是不相容的，除非函数F(x)满足条件
这时两个方程也是相同的。
现在具体讨论积分方程(1)的解。
1° 先考虑齐次方程（即F(x)=0）的情形。若l¹±2，则唯一解是平凡解y(x)=0。
当λ=2时，代数方程组只给出一个条件c1=3c2。这时，解是
y(x)=c1(1-x)
式中c1=3λc2=6c2是任意常数，1-x是对应于特征值λ=2的特征函数。
当λ=-2时，解是
y(x)=c2(1-3x)
式中c2=λc1=-2c1是任意常数，1-3x是对应于λ=-2的特征函数。
方程(2)表明原积分方程(1)的任一解表示为如下形式：
y(x)=F(x)+c3(1-x)+c4(1-3x)
式中
，
。于是推出原积分方程(1)的任一解可以用特征函数的某一线性组合与F(x)的和来表达。
2° 在非齐次的情形（即F(x)不恒等于零）下，若l¹±2，则积分方程(1)存在唯一解。
当λ=2时，积分方程(1)没有解，除非在区间[0,1]上F(x)正交于λ=2所对应的特征函数1-x*,即
在此条件下，再利用c1-3c2=
,给出积分方程(1)的解。
式中c1=6c2是任意常数，因此，这时存在无穷多个解。
类似地，当λ=-2时，积分方程(1)没有解，除非在区间[0,1]上F(x)正交于1-3x,即
这时存在如下的无穷多个解：
式中c2=-2c1是任意常数。
四、希尔伯特-施密特的理论
当齐次Fr方程的核K(x,ξ)不可分离，特别，K(x,ξ)对于x>ξ和x<ξ,分别由不同的分析表达式给定时，其特征值一般有无穷多个λn(n=1,2,L),每个特征值对应的特征函数除一个乘数外是确定的；在例外的情形，一个给定的特征值lk可以对应于两个或更多个独立的特征函数。本段将介绍这种特征函数的某些性质。
[具有对称核的Fr方程的性质] 如果在实核中交换它的变量时，它本身的值不变，这个核就叫做对称核。
1° 具有对称核的齐次Fr方程的特征函数系是正交的。
2° 具有实对称核的Fr方程的特征值都是实数。
注意，核不对称的Fr方程可以具有虚的特征值。
[希尔伯特-施密特定理] 设Φ为一平方可积函数，则形如
的函数f(x),可由对称核齐次Fr方程
在[a,b]上的特征函数y1(x), y2(x),L的线性组合表达，如果特征函数有无穷多个，那末所得的无穷级数在区间[a,b]上绝对且一致收敛。
[施密特公式] 考虑非齐次第二类Fr方程
式中K(x,x)是在定义区间上平方可积的对称核，并假定在正方形k0(a≤x≤b，a≤ξ≤b）上是两变量x,ξ的连续函数,F(x)是已知的一致连续函数，y(x)是未知函数，而λ是参数，则有施密特公式
（λ≠λn ，即λ不是特征值）
(1)
右边的级数是绝对且一致收敛的，式中Fn由下式决定：
（n=1,2,L） (2)
[核的展开定理] 一个对称核K(x,x)可展开为级数
这个级数对任意固定的x，有
[具有非对称核的积分方程] 设核K(x,x)不是对称的，但可表为如下形式
K(x,x)=r(x)G(x,x)
式中r(x)在（a,b）内连续且不变号，而G(x,x)是对称的，这时有以下性质：
1° 对应于不同特征值lm和ln的两个特征函数ym(x)和yn(x)在[a,b]上关于权函数r(x)是正交的，即
2° K(x,x)的特征值都是实数。
3° 若非齐次第二类Fr方程有一个解，则这个解由(1)给出，并以权函数r(x)去乘(2)式两边所包含的被积函数。
[具有埃尔米特核的积分方程] 设核K(x,x)为一复核，如果
则称K(x,x)为埃尔米特核，式中
表示K(x,x)的共轭复函数。具有埃尔米特核的积分方程有以下性质：
1° 对应于不同特征值lm和ln的两个特征函数ym(x)和yn(x)在[a,b]上是按埃尔米特意义正交的：
2° 在[a,b]上与埃尔米特核相联系的特征值都是实数。
3° 设特征函数按埃尔米特意义是标准化的：
如果非齐次第二类Fr方程有一个解，那末这个解由(1)给出，并且(2)式改为
（n=1,2,L）
[具有反对称核的积分方程] 设K(x,x)满足条件
K(x,x)=-K(x,x)
则称K(x,x)为反对称核，这时iK(x,x)是埃尔米特核。因此，具有反对称核的积分方程
如果以li代替l，则得到具有埃尔米特核的积分方程
由此可见，具有反对称核的积分方程必有特征值，而且都是纯虚数。
[伴随核与自伴随核] 设u(x)是一复核K(x,x)(它不一定是埃尔米特核)对应于特征值l的一个特征函数，v(x)是核
对应于特征值m的一个特征函数，若
，则
这里
称为K(x,x)的伴随核。如果= K(x,x)，那么K(x,x)称为自伴随核，显然实对称核与埃尔米特核都是自伴随核。
五、第二类Fr方程的逐次逼近法与诺伊曼级数解
[逐次逼近法] 在某种情形下，第二类Fr方程可用逐次逼近法来解。为此，设方程
(1)
的解可用l的幂级数来表达：
y(x)=y0(x)+y1(x)l+y2(x)l2+L
(2)
如果级数(2)在区间[a,b]上关于x是一致收敛的，那末把它代入(1)中，可逐项积分，比较l的系数就得到确定yn(x)的递推公式
y0(x)=F(x), 
(n=1,2,L)
(3)
式中yn(x) (n=1,2,L)都是连续函数。若
充分小，则级数(2)关于x绝对且一致收敛，于是级数(2)是连续函数并且是积分方程(1)的解。
[叠核 × 预解核 × 诺伊曼级数解] 设K(x,x)为核，经递推公式
K1(x,x)=K(x,x),
(n=2,3,4,L)
(4)
产生的Kn(x,x)称为已知核K(x,x)的n次叠核。它满足下面公式
式中p,q为任意正整数。
由于F(x)和K(x,x)分别在[a,b]上和k0(a≤x≤b，a≤ξ≤b）上连续，所以各有极大值m和M：
， 
当
时，级数
在k0内绝对且一致收敛，记作
(5)
如果用自由项F(x)来表达yn(x),则由(3),(4)推出
并把它代入级数(2)得到
(6)
因为级数(5)在k0内一致收敛，所以对[a,b]上任一固定值x,它在区间内关于x一致收敛，故得积分方程(1)的解
， (7)
式中不依赖于自由项F(t)的函数R(x,x ;l)称为核的（或Fr方程的）预解核，级数(5)称为诺伊曼级数。
[存在性与唯一性定理] 如果把级数(5)改写为
由(5)上式化为
改变符号可写为
因此，当把方程(1)中F(x)换为K(x,y)时，上式表明存在预解核R(看作两个变量x,y与参数l的函数)是方程(1)的唯一解。
例 举例说明预解核的实际算法。设积分方程(1)中
K(x,x)=1-3xx
由公式(4)算出它的各次叠核：
所以
，从此容易推出
（n≥3）,于是有
即
值得注意的是，由此式可以给出一切λ值（λ=±2除外）的预解核，但相应的诺伊曼级数只当
时才收敛。
六、弗雷德霍姆的理论
[Fr方母] 预解核R(x,ξ;λ)可以用关于λ的两个幂级数之比来表达，这两个级数对一切λ值都是收敛的。
若预解核表成
(1)
式中
(2)
(3)
Δ(λ)称为Fr分母，它与变量x,ξ无关。式中系数cn与函数Dn(x,ξ)可由下列递推公式逐次算出：
LLL
那末方程
的解可将（1）代入上段（7）式中得到，其形式为
（4）
当K(x,x)是可分离时，这个结果与本节三中所得到的解一致，这时级数(2)与(3)都只包含有限项。
更一般地，若级数(2)与(3)之比用关于l的幂级数(由除法或其他方法)来表达，结果将化为上段的(6)式的级数形式，而它只对充分小的l
值收敛;但是(4)中最后一项的分子和分母的级数展开式对l的一切值都收敛。
分母D(l)只当l取一特征值时等于零，在这个情形下，Fr方程或者无解或者有无穷多个解，并且(4)不再成立。
[D(l)的零点与Fr方程] 应用存在性与唯一性定理，有以下结论：
1° 若l不是D(l)的零点，则对任意的F(x),(4)式是Fr方程的唯一解。
2° 函数D(l)的一切零点都是预解核的极点。
3° 若lc是D(l)的零点，则齐次方程
有非零解。
于是D(l)的一切零点都是上面积分方程的特征值，就是说，这时齐次方程
(5)
有非零解。若l不是D(l)的零点，则由1o，非齐次Fr方程对任意的F(x)有唯一解，特别，这时上面齐次方程只有零解，即
若l是D(l)的零点，则它是特征值，若l不是D(l)的零点，则它不是特征值，于是得到
4° 积分方程的特征值都是D(l)的零点。
5° 在l平面的任何有限区域内只有有限个特征值。
[转置积分方程] 形如
(6)
的方程叫做Fr方程
的转置积分方程，它的相应的齐次方程为
(7)
这个方程的核记作
K0(x,x)=K(x, x)
转置积分方程具有以下性质：
1° 齐次方程(5)与它的转置方程(7)或同时仅有零解，或同时有非零解。
2° 齐次方程(5)与它的转置方程(7)有相同个数的线性无关的解。
3° 若l是特征值，则非齐次Fr方程可解的充分必要条件是：自由项F(x)满足条件
式中
是转置方程的任何特征函数，即齐次方程(7)的任何解。若这个条件满足，则Fr方程有无穷多个解，而一切这样的解取形式
式中y0(x)为Fr方程的任意特解，
为方程(5)的r个非平凡的线性无关的解，c1,c2,L,cr为任意常数。
应当指出，上式结果与n个变量的n个线性代数方程组的关于解的存在和唯一性的对应结果完全类似。