§5 非线性积分方程
[积分算子与线性算子] 考虑表达式
对于给定的核K(x,ξ),每个函数f(x)都有另一个函数F(x)与之对应，这种对应关系称为积分算子，记作K, 即
F=Kf
使得函数F=Kf存在的那些函数f的集合称为算子K的定义域。
如果算子K满足条件
（a为常数）
则称K为线性算子。
[有界算子及其范数] 如果存在某常数M,对一切函数f都有
则称K为有界算子，式中
表示函数f的范数(模)。使上面不等式成立的一切M的最大下界称为算子K的范数，记作
，它也可以定义为
有界算子具有以下性质：
1° 若K1和K2是有界算子，则K1K2也是有界算子。
2° 如果对有限正方形k0(a≤x≤b, a≤ξ≤b)上的一切x,ξ,函数K(x,ξ)是连续的，则由
定义的算子K 是有界算子。
3° 如果在无限区间[a,b]上，函数K(x,ξ)满足
则由
定义的算子K是有界算子。
[非线性积分方程解的存在定理] 考虑如下形式的积分方程
(1)
前几节中解线性积分方程的方法对于非线性积分方程是不适用的。下面仅列出几个解的存在性定理。
定理1 假定K(x,ξ)对单位正方形k0(0≤x≤1,0≤ξ≤1)上的一切x,ξ是连续的，设ôK(x,ξ)ô≤C (C为常数)，
对单位正方形k0上的一切ξ, t也是连续的，并且
(A为常数)
又假定满足李普希茨条件
式中B是与ξ无关的常数。那末当
时，积分方程(1)在L2[0,1]*中有唯一的解。
定理2 假定K(x,ξ)对单位正方形k0上的一切x,ξ是连续的，设
（C为常数）
满足
（B为常数）
并对任意ε>0，都有δ=δ(ε)使得
（当
时）
式中
。那么当时，积分方程(1)在L2[0,1]*中至少有一个解。
定理3 假定K(x,ξ)和都是它们的自变量的连续函数，设S是L2[0,1]中满足
（M为常数）
的函数
的全体。假定
（C为常数）
（一切
）
并对任意ε>0，都存在δ=δ(ε),使得
（当时）
那末当
时，积分方程(1)在S中至少有一个解。
这个定理的条件要求K(x,ξ)是连续的，事实上可以证明，只要核K(x,ξ)是平方可积的就有同样的结论。
定理4 假定
满足定理3所述的条件，并设K(x,ξ)满足
那末当时，积分方程(1)在S中至少有一个解。