§5   滤   波

 

从包含着误差(意味着干扰、噪声)的数据(或信号)中提取需要的信息，这种数据处理方法称为滤波。下面仅介绍几种最小二乘(或最小方差)滤波。

 

一、最小二乘滤波

 

   [增长记忆的最小二乘滤波]

   滤波的最小二乘准则

 给定离散观测系统

              

式中

              

              

              

            

 

式中表示转置，是在时刻的观测值，是由形成的n维列矢量，称为观测矢量；是的矩阵，其中m是常数；是n维列矢量，它的分量是时的误差；是状态矢量(m维)。假设状态满足方程

                 

其中为m阶方阵，其元素均为常数，又设可逆，记。

如果当时

            

则称是的在最小二乘意义下的最优估值。

假设可逆，记，于是可以推出

                    

  滤波的递推公式

    上述求的最优估值的公式在电子计算机上并不实用，通常在计算机上用递推公式。可以推出

             

其中

       

是m维行矢量

                 

满足。

从以上公式来看，为求，实际上用到了全部历史观测值，随着n增大，用到的个数增多，故这种滤波递推公式称为增长记忆的。

[加权最小二乘滤波]  当n充分大时，较早的历史数据用在估计中往往起不利的作用，通过加权处理，可以使“过老”数据的作用逐渐消失。下面举加“指数下降”权的例。

选取，引进对角线矩阵序列

          

 

同前，设观测系统与状态方程分别为

                   

                      

如果时

         

则称是在加“指数下降”权最小二乘意义下的最优估值。

可以证明

           

其中

               

    并且有计算的递推公式

              

其中

     

是m维行矢量，定义同前面一样。

 

二、维纳滤波

    

维纳滤波与卡尔曼滤波都是最小平方偏差滤波，但它们依据的已知条件、计算方法及适用范围等都有所不同。

[维纳滤波准则]  假设希望得到序列z(t)(t只取某些整数值)，而实际得到的是序列x(t)。于是设计一个脉冲响应为h(t)的线性定常系统，使得它的输入量为x(t)，而输出量

       

与z(t)的偏差在某种准则下尽可能地小。

所谓维纳滤波问题，就是适当地取h(t)，使得

                  

当x(t)是确定序列时，

                

当x(t)是随机序列时，

                

[单路最小平方滤波]  假设滤波因子h(t)是由s+1个等跨距的系数组成的序列，如

             

s+1称为滤波因子的长度，则最小平方滤波因子h(t)满足

                   

或用褶积表示为

                     

其中

               

称为输入x(t)的自相关函数(第十六章§3)，

              

称为z(t)与x(t)的互相关函数。

滤波输出与希望输出的符合程度可用标准化均方误差:

            

来度量，其中

                

显然。当时，滤波作用最好；当时，滤波作用最差。

当滤波因子的长度是无限的时候，可以得到类似的结果。用，，分别表示h(t)，的频率谱*，则根据两个函数的褶积相当于其谱的乘积，可得到其频率特征

              

它表明用互相关函数与自相关函数的频率谱可以决定滤波因子的频率谱。

[多路最小平方滤波]  多路最小平方滤波方法是利用多路讯号的重复性，从而提供更多的有益讯息。

设为n路输入，为m路希望输出，写成矩阵分别为

           

               

为多路滤波因子，写成矩阵为

             

 

 

 

 

 

 

 

-------------------------------

  离散时间序列的频率谱定义为

                  

        其中              

当离散时间序列只有有限项时，可把它补上许多0，成为无穷序列而用上述定义。

是m路滤波输出，写成矩阵为

             

 若每路输入的长度为k+1，所有的滤波因子的长度为s+1，则每路的滤波输出的长度为k+s+1。

 所谓多路最小平方滤波，就是适当选取多路滤波因子(矩阵)H(t)使总均方差

             

当是确定序列时，

                           

当是随机序列时，

                            

多路最小平方滤波因子满足下列方程

        

                                  （1）

其中

                  

是多路最小平方滤波因子，是矩阵，

             

为输入的自相关函数方阵，称为多路自相关矩阵，的转置矩阵，

                 

为希望输出和输入的互相关函数的矩阵。

    方程(1)是以滤波因子           为未知数的mn(s+1)个线性联立方程。它的解即所求的多路最小平方滤波因子。

滤波输出与希望输出之间的符合程度，可用标准化均方误差

   

来度量，显然，。当时，多路最小平方滤波输出与希望输出符合得最好；当时，符合的程度最差。

当滤波因子的长度是无限时，最小平方滤波因子满足下列方程

               

用频率谱表示，则有

     

                          =

上述方程的解就是所求的多路最小平方滤波因子。

 

三、卡尔曼滤波

 

[线性离散系统的卡尔曼滤波]

  动态模型  设一n维线性动态系统与p维线性观测系统分别由下面的差分方程描述:

               

                             

或引入相应的符号简单地记作

                                                        (1)

                                                           (2)

其中(k为整数)满足

              

x(t)是n维状态矢量，(t)是m维动态噪声矢量，z(t)是p维()观测矢量，v(t)是p维()观测噪声矢量；矩阵，称为动态噪声矩阵，H(t)是矩阵，称为观测矩阵，是非奇异矩阵，称为系统的转移矩阵，具有下列性质∶

(i)    (对于一切t，其中I为单位矩阵)

   (ii)   (对于任意的)

          (iii)    

     线性最小方差估计  如果从动态模型确定在时刻系统的状态的估值时，满足下述条件:

 (i)  估值是观测值的线性函数；

    (ii)  =最小值，其中是估计误差;那末这个估值称为线性最小方差估计。

设通过p维线性观测系统(2)，从第1时刻到第k时刻，对n维线性动态系统(1)的状态作了k次观测，根据这k个观测数据，对第j时刻的状态进行的估计为 ，估计误差为，把估计的均方误差记作。当时，称为预报或外推，当时，称为内插。特别当j=k时称为滤波，并简记。

      卡尔曼滤波公式  设在上述动态模型中，动态噪声与观测噪声是互不相关的零均值白噪声序列；即对所有k,j

均值 ，均方差 

      ,        

                      

又设初始状态的统计特征为

             

且与都不相关，即

             

那末的最优线性滤波可由下式递推计算

            

其初值；又其中

        

         

     

称为加权矩阵或增益矩阵，为最优估值误差的协方差矩阵，括号中的I表示单位矩阵，最后一个方程称为协方差更新方程。

   这时最优线性预报(外推)估值为

                          (j>k)

 

   [连续时间系统的卡尔曼滤波]

  动态模型设状态方程是

                                                        (1)

观测方程是

           

式中是n维矢量型的随机过程，是p维矢量型的随机过程。，分别是m维()和p维矢量型的、均值为零的互不相关的白噪声过程，即

                

                 

                

                

式中Q(t)，R(t)都是对时间t连续可微的、对称和非负定矩阵；是狄拉克函数。又F(t)，G(t)与H(t)分别是矩阵，其元素为t的非随机函数或常数。

      线性最小方差估计  设已知(由观测得到)的值()，求由公式

              

所表示的的线性估值，使得

    =最小值

这样的估值称为线性最小方差估计，其中滤波因子矩阵，它的每个元素对两个自变量都是连续可微的。

  卡尔曼滤波方程  假设上述动态模型满足下列条件:

    (i)  矩阵R(t)对于一切t是正定的;

(ii) 在u(t)的作用下，动态系统(1)达到稳定状态，即x(t)是由

             

确定的随机函数；

(iii) 在某个确定的时刻，被测量和在时刻的方差是             已知的；

那末动态模型的最优滤波方程是

          

式中

                (加权矩阵方程)

                           (2)

                                                      (黎卡提方程(见第十三章§1))

初始条件为

                        

                      

上式中称为加权矩阵，为最优估值误差的协方差矩阵。

    特别，当为矢量型的平稳随机过程时，可在(2)中令，解出。