§2       连分数

 

    [简单连分数]  a为实数(有理数或无理数),则可表成简单连分数

                          

简记为                             

                                   

式中为整数,为正整数.

    a为有理数,则必可展成有限连分数

                           

式中是由辗转相除法一列等式(1)所得到的一列不完全商.如果规定最后一个不完全商大于1,即当,可写成

则表法唯一.

    a为无理数,则可展成无限连分数,且表法唯一.

    [完全商与不完全商]  简单连分数(2)称为a的第i个不完全商.称为a的第n个完全商.显然.

    完全商与不完全商的关系:

                    

                        (n=0,1,2,…)

式中a的第n个渐近分数的分子和分母(见下).

    [渐近分数与最佳渐近分数]  简单连分数(1)中截取

                    

称为a的第n个渐近分数.渐近分数都为既约分数.

    1.°  渐近分数的等式与不等式

()

      (a为实二次无理数时)

                    

 

(式中n的递减函数。a为有理数时,此式仅当时成立,)

                    

    2° 

                    

因此在分母不大于的所有分数中,a最接近(为最佳渐近分数).

    3°  a的两个相邻渐近分数中必有一个适合于

                     

    4°  a的三个相邻渐近分数中必有一个适合于

                    

    5°  a为实数,为有理数,M为正整数.a适合于不等式

                    

a展成连分数的不完全商至少有一个大于M2.

    [周期连分数及其充分必要条件] ,,则连分数

                    

称为以k为周期的周期连分数,记做

                                                      (3)

l=0,(3)式称为纯周期连分数,l=1,(3)式称为拟纯周期连分数.

    1°  实数a可展成周期连分数的充分必要条件是:a是一个有理数域上二次不可约多项式的根.

    2°  实二次无理数a可展成纯周期连分数的充分必要条件是:a>1,这里aa的共轭实数.

    3°  实二次无理数a可展成拟纯周期连分数的充分必要条件是:a’<[a]-1,这里aa的共轭实数, [a]a的整数部分.

    [,ep的连分数]

    1°  为非完全平方数,

              

    2°  e为自然对数的底,

                

式中不完全商的通式为

                

    3°  p为圆周率,

          

它的渐近分数为

          

    [二次域Q()的整底的连分数表]

 

w

连分数表示

w

连分数表示

 

*

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[4,7]

*

  

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*

 

    [黄金分割与费波那奇序列]

1°  把线段AB分成中外比()的分割称为黄金分割.也就是求解代数方程                   

               

的一个根            

    黄金分割的几何作图见图20.1(EAB中点).

    2°  由递推关系

               

产生的序列

               

称为费波那奇序列.其通项表达式为

                   

    3°  ,.

    4°  的最佳渐近分数,的最佳渐近分数.

    5°  a,b为自然数,由递推关系

                    

产生的序列的通项表达式为

             

并且具有性质: ,.

    [推广的费波那奇序列] 由递推关系

               

产生的序列称为m级推广的费波那奇序列.其通项表达式为

                *

   w为方程

                    

的唯一正实根,

                   w=

                   

 

 



* 数论中通常把二项系数记作