第二十一章 集论与一般拓扑学

 

集是近代数学最基本的概念.本章首先介绍集论的公理系统.不过这个系统近来已被证明是不完备的,所以对这里所采取的出发点做了必要的说明(见§1,一的最后).其次介绍集论本身的主要内容─序数与基数理论.

本章另一主要内容是一般拓扑学.这里重点介绍对数学分析特别重要的几种特殊拓扑空间和点集——尺度空间(附一致性结构)、紧致集、联结集，还结合前两者讨论了变换族的点点收敛拓扑、一致收敛拓扑、紧致——开拓扑.最后，介绍流形和微分流形的概念和几个基本的存在定理.代数拓扑的知识不在本章介绍之列（唯一例外是在§6里谈到“单联”的概念），此外，在介绍微分流形的时候没有牵涉到微分几何结构（如切空间）.

 

§1 集(集合)

 

一、   集的定义

 

    1.集的古典定义

[集与元素]  一些事物的全体叫做一个集,这些事物中的每一个,都称为这个集的(或这个集里的)元素.

如果某种事物只有一个,这个事物假定记做a,那末称这种事物的全体是集{a},a是{a}的唯一的元素.

如果某种事物不存在,就称这种事物的全体是空集.规定任何空集都只是同一个集,记作φ.任何事物都不是φ的元素.

每一个集都是一个事物.

[属于与包含]  假定a是集A的元素,记作

aA或Aa

“”读作“属于”，“”读作“包含”.假定a不是A的元素，记作

或

“”读作“不属于”，“”读作“不包含”.

    [定义的注释]

1°     {a}和a一般是不同的概念,比如{φ}有一个唯一的元素φ,但是φ没有元素.

2°     和在逻辑上是彼此相否定(非)的,换句话说,假定a是一个事物,A是一个集,那末

aA和aA

不能都成立,也不能都不成立.

3°     假定A和B都是集,如果任何一个事物属于A也一定属于B,属于B也一定属于A,那末A和B是同一个集,或称两个集A和B相等,记作A=B.

    [集的例子] 假定有一些事物,全部写出来是a,b,c,…,那末由定义,它们的全体是一个集,这个集可以记成{a,b,c,…}.元素符号的次序和重复都无关实质,比如{a,b}={b,a}={a,b,a}.

    由定义, φ是一个集,而集是一个事物,所以下列的事物都是集:

                  {φ},{{φ},φ},{{{{φ}},{φ}},{φ}}

又例如,零和正整数可以定义如下:

0 =φ

1 ={0} = {φ}

2 = {0,1}= {φ,{φ}}

3 = {0,1,2} = {φ,{φ},{φ,{φ}}}

4 = {0,1,2,3}

……………

    [族]  族是集的同义词.在某些情况,比如一个集A的元素都是集的时候,为了避免混淆,也把A叫做一个族或者一个集族.

    虽然在近代集论模型中,任何一个集的元素都是集(因为不考虑非集的“事物”)，但是有时使用“族”这个称呼可以表达得更清楚.

    族有时也当作量词用.例如把属于一个集族的全部集说成“一族集”.

2. 罗素怪异

    上面已经用例子说明怎样用列举元素的办法来表示一个集.但是当一个集的全部元素无法列举的时候,这个集应该怎样表示呢?在集论发展的初期,流行的习惯是把一个集说成是“所有满足某条件的事物的全体”.如果把“某个事物x满足某条件”这句话表示成一个逻辑公式p(x),那末按照所说的这种习惯表示法,一个集可以记作{x|p(x)}或{x:p(x)}(所有使p(x)成立的x的全体).一般往往认为只要所说的条件是明确的,也就是对任何x,p(x)和(非p(x),就是p(x)的否定)有一个且只有一个成立,那末这种表示法是没有问题的.可是实际上并不如此.下面举著名的罗素怪异当例子:

    设.如果z是集,那末z也是事物,因此zz和zz不能都成立.假定zz,那末z应该满足所说的条件xx,因此zz,自相矛盾.假定zz,那末z已经满足所说的条件xx,因此zz,又自相矛盾.这就叫罗素怪异.

    根据定义的注释,z不是集.因此罗素怪异实际上是错误地假设“z是集”引起的.除了这个形式逻辑上的理由外，对罗素怪异还可做更深入的解释，但是有个根本的问题不好解决，既然{x|xx}不是集，那末别的{x|p(x)}可以算作集吗?

    为了回答这个问题,集的概念必须进一步精密化,因此下面介绍公理系统.

    3.  ZFC公理系统与BNG公理系统

    目前集论公理系统有两种形式,一种是策莫洛-弗兰克尔-柯很形式,简称ZFC;另一种是贝尔内斯-诺伊曼-葛德尔形式,简称BNG.这里采用ZFC公理系统.

    ZFC包括九个公理(有三个显然包含在前面集的定义和定义的注释中),它们是

    [外延公理] 即定义的注释.

    [空集公理] 存在一个不包含任何元素的集.

    [无序对公理] 对任何事物x和y,存在一个集{x,y},{x,y}的仅有的元素是x和y.

    [正则公理] 任何一个不空的集A一定包含一个元素a,A的任何一个元素都不是a的元素.

    由正则公理可以知道,对任何集a来说,a和{a}是不同的.这是因为如果a ={a},那末{a}就不符合正则公理.

    ZFC的其余五个公理是替换公理(本节,二),方幂集公理,和集公理(本节,三),无限公理(§2,三),选择公理(§2,四).它们分别在各有关节里详细说明.总的说来,这些公理用比较精密的形式规定了集有哪些.但这个公理系统不能证明自己不矛盾,同时它也没有把集论所必需的所有的集都规定在内(§2,六).因此这个系统未能成功地取代集的古典定义.后面将采用如下的出发点:(i)假设这五个公理所规定的集是符合前面集的古典定义和定义的注释的.(ii)除了元素可以全部列举的集以外,只考虑上述公理所规定的集.

 

二、   变换­­­·集的一般表示法·标号集

 

    [有序对] 假定x和y都是事物,那末

<x,y> = {{x,1},{y,2}}

称为由x和y结成的有序对,x和y分别称为<x,y>的第一坐标和第二坐标.

    有序对是针对无序对说的.可以看到<x',y'>=<x,y>的充分必要条件是:x'=x且y'=y,而无序对跟元素先后次序无关.

    [替换公理] 假定X是一个集,如果对每个xX作为第一坐标,都有一个且只有一个y与x结成有序对<x,y>,那末所有这种有序对的第二坐标y的全体是一个集Y.

    把每个<x,y>看作有序对<x,<x,y>>的第二坐标,再一次应用替换公理,就可看到所有这种有序对<x,y>的全体也是一个集.

    [变换(映射)·象源(原象)·象] 假定X是一个集,如果对每个xX作为第一坐标,都有一个且只有一个y和x结成有序对<x,y>,其第二坐标y的全体记作Y(是一个集),那末所有这种有序对<x,y>的全体是一个集f,这时称f为把X变到Y上的变换(映射),简称f是变上的(映上的),X称为在变换f下Y的象源(原象),Y称为在变换f下X的象,记作Y=f(X).

    一般,假定<x,y>f,那末记作

y = f(x)

x称为在变换f下y的象源,y称为在变换f下x的象.

    [一对一变换与逆变换] 由定义,一个变换的每个象源都只有一个象(单值性),但是一个象不一定只有一个象源.如果特别每个象也都只有一个象源,那末称f是一对一的变换.在一个一对一变换f下,可以得到一个把Y变上X的变换,称为f的逆变换.如果f(x) = y,那末(y) = x.

    [集的一般表示法与标号集] 假定有一个一对一的变换把一个集H变上X,那末X是一个集,如果把每个象源h(H)的象记作xh(X),把X记作

X ={ xh |hH}                                (1)

那末H称为X的标号集,每个h称为xh 的标号.

    反过来,一个集总有标号集的.因为至少它自己就可以看作自己的标号集.因此(1)式这种表示法是普遍适用的.以后应用这种记号的时候不一定再说明H是标号集,只要规定这种记号里写在H位置上的必定是标号集.

 

三、   公理系统规定的集

 

    [子集] 假定A和B都是集,B的每个元素都是A的元素,那末称B为A的一个子集,记作BA或AB.“”读作“包含于”或“被掩于”，“”读作“包含”或“掩盖”.

    对于任何的集A,B和C有

1°     AA                        (自反律)

2°     从AB,BA,可推出A=B   (反对称律)

3°     若AB,BC,则AC        (传递律)

    假定BA但是BA(B=A不成立),那末称B为A的一个真子集,记作(BA).

    规定空集是任何集的子集.

    [变进的变换] 假定一个变换f把一个集X变上集Y的一个子集,那末称f为把X变进Y的变换,简称f是变进的(映入的).变上是变进的特殊情况.

    [划分公理与特征函数] 假定有一个变换f把一个集X变进{0,1},那末1的所有象源的全体是X的一个子集X',f称为X'的特征函数.

    划分公理是替换公理的结论,因为如果1的象源全体是φ,那末φ当然是X的子集,否则1至少有一个象源x0X,造一个变换

                     

那末g(X)=X',所以X是集.

    推论  假定X是集,对每个xX,论点p(x)和­(p(x)的否定)一定有一个且只有一个成立,那末{x|xX且p(x)}是一个集.

    [差集与余集] 假定A和B都是集,那末所有属于A但不属于B的元素的全体是一个集(由划分公理的推论),称为A和B的差集记作A\B.

    特别,当BA的时候,A\B称为B在A中的余集.

    [方幂集公理] 一个集A的所有子集的全体是一个集,记作,称为A方幂集.

    可以把一对一地变上“所有把A变进2 = {0，1}的变换的全体”去，所以后者也是一个集，这个集和A方幂集可以互相作为彼此的标号集.今后,往往把它们看作同一个集,也就是把A的一个子集跟它的一个特征函数混同起来.

    [和集(并)与和集公理] 假定{Ah|hH}是一个集族,那末{x|存在一个Ahx}是一个集,它称为这族集的和集(并),记作.

    当一个集族的全部集是A,B,C,…时,这族集的和集可写成

                             A∪B∪C∪ …

    例     {1,2,3}∪{0,2,4}∪{2,1}={0,1,2,3,4}

    [通集(交)] 假定{Ah|hH}是一个集族,那末{x|所有的Ahx}是一个集,它称为这族集的通集(交),记作.通集存在是划分公理的结论.

    当一个集族的全部集是A,B,C,…时,这族集的通集可写成

                         A∩B∩C∩…

    例     {1,2,3}∩{0,2,4}∩{2,1}={2}

    [直接积(笛卡儿积)] 假定A={xh|hH},B={yk|kK},那末

                     {<xh,yk>|xhA且ykB}

是一个集,它称为A和B的直接积,记作AB.

    直接积存在是替换公理与和集公理的结论.因为对任何hH与kK,{<xh,yk>}是一个集,由替换公理,{{<xh,yk>}|hH}是一个集族,因此存在和集.{Ck|kK}又是一个集族,所以又存在和集,这就是AB.

    假定{Ah|hH }是一个集族,其中每个Ah ¹φ那末由选择公理(§2,一)对每个hH可以得到一个xhAh,并且由替换公理得到一个集

<xh|hH>={{ xh ,h}|hH}

称为由一个选择变换(§2,四)得到的有序组.

    把每个xhAh 换为一个x'h Ah ,那末由替换公理得到另一个集

<x'h|hH>={{ x'h ,h}|hH}

这同样可以看作由一个选择变换得到的有序组.

    所有这种有序组的全体是一个集，它称为一族集Ah(hH)的直接积,记作.

    H=2时,就是AB.

    [叠集] 假定A和B都是集,那末由变换的定义,每个把A变进B的变换f都是AB的子集,因此f.由划分公理,所有把A变进B的变换f的全体{f|f且f把A变进B}是一个集,称为把A叠在B上的叠集,记作AB.

    显然, AB.另一方面,特别当B=2={0,1}时,A2既是方幂集又是叠集.

    [集的运算规律] 设A,B,C都是集,则

    交换律        A∪B=B∪A,A∩B=B∩A

    结合律        A∪(B∪C)=(Α∪B)∪C

A∩(Β∩C)=(Α∩B)∩C

    分配律        A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

    德×摩根(De Morgan)律

              C\(A∪B)=(C\A)∩(C\B)

              C\(A∩B)=(C\A)∪(C\B)