第三章 代 数 方 程
代数方程的理论有下列几个主要问题：
(1) 根式解问题；
(2) 根的分布及近似计算；
(3) 根的存在问题；
(4) 根的性质的研究.
本章着重介绍（1）和（2）两个问题，对于（3）和（4）两个问题仅作简略的叙述.
根式解问题就是如何把方程的根用公式表达出来，这里具体列出了实数域上二、三、四次方程根的表达式，并且指出根与系数之间的相互关系，还叙述了阿贝耳定理，即五次以及更高次的代数方程没有一般的根式解.本章介绍了代数方程的性质，其中提到关于根的存在问题的重要的“代数基本定理”；并且叙述了伽罗瓦所指出的，存在用代数方法不能解的具体方程；也介绍了代数方程的某些特殊解法与对称多项式的基本定理；给出了根的隔离的各种判别法.最后介绍了方程实根的近似计算的多种方法，并对秦九韶法作了详细说明.
§1 二、三、四次方程的根的表达式
1. 基本概念
[数域] 如果一个数系满足下列两个条件，则称这个数系为一个数域：
(i) 系中有不等于零的数；
(ii) 对系内任意两个数（这两个数也可相同）的和、差、积、商（零不能作除数）仍为系内的数，这就是说，系内的数对于四则运算是封闭的.
例如，有理数系、实数系、复数系都是数域.
[多项式的根] 形如
f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+L+an-1x+an=0
的方程称为在一个数域S上的一个未知数的n次代数方程，f(x)称为一元n次多项式，式中n为正整数，a0,a1,a2,L，an-1,an是属于数域S的常数，称为方程的系数，最高次项系数a0简称为首项系数.
设c是一个常数,使f(c)=0,则称c为多项式f(x)或方程f(x)=0的根.本节先考虑在实数域上的二、三、四次方程.
2. 二次方程
二次方程根的表达式及根与系数的相互关系
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方程 |
ax2+bx+c=0 |
x2+px+q=0 |
|
根的表达式 |
x1,2= |
x1,2= |
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根与系数的关系 |
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判别式 |
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3.三次方程
[x3－1=0] 方程 x3－1=0
的三个根为 x1=1, x2=ω=
, x3=ω2=
(i2=－1) (1)
[x3+px+q=0(卡尔丹公式)] 方程
x3+px+q=0
的三个根为
x1=
x2=ω 
ω2 (2)
x3=ω2 
ω
式中ω,ω2同(1).这叫做卡尔丹公式.
根与系数的关系为
x1+x2+x3=0,
,
x1x2x3=－q
判别式为
=
>0时，有一个实根和两个复根；=0时，有三个实根，当p=q=0时，有一个三重零根；当
时，三个实根中有两个相等；<0时，有三个不等的实根.
三个根的三角函数表达式（仅当p<0时）为
x1=2 
cosθ
x2=2 cos(θ+120°)
x3=2 cos(θ+240°)
式中
r=
, θ=
arc cos
[ax3+bx2+cx+d=0] 一般三次方程
ax3+bx2+cx+d=0 
上式除以a，并设
x=y
则化为如下的形式
y3+py+q=0
可按（2）的情形处理，解出y1，y2，y3，则一般三次方程的三个根为
x1=y1 ， x2=y2 ， x3=y3
三个根与系数的关系为
x1+x2+x3=
, 
, x1x2x3=
4.四次方程
[ax4+cx2+e=0] 方程
ax4+cx2+e=0
中，设y=x2，则化为二次方程
ay2+cy+e=0
可解出四个根为
x1,2,3,4=
[ax4+bx3+cx2+bx+a=0] 方程
ax4+bx3+cx2+bx+a=0
中，设y=x+
，则化为二次方程，可解出四个根为
x1,2,3,4=
, y=
[x4+bx3+cx2+dx+e=0] 一般四次方程
ax4+bx3+cx2+dx+e=0
都可化为首项系数为1的四次方程，而方程
x4+bx3+cx2+dx+e=0
的四个根与下面两个方程的四个根完全相同：
x2+(b+
)
(y+
)=0
x2+(b－)(y－)=0
式中y是三次方程
8y3-4cy2+(2bd-8e)y+e(4c-b2)-d2=0
的任一实根.
5．阿贝耳定理
五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法（即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法）.这是阿贝耳定理.