§2  代数方程的性质

一、多项式与代数方程的一般性质

[代数基本定理]  每个复数域上n次代数方程

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+L+a_n－1x+a_n=0            (n1)

在复数域中至少有一个根.

代数基本定理的推论：每个n次代数方程在复数域中有n个根，而且只有n个根.

[多项式的导数]  多项式f(x)的导数为

(x)=na₀x^n－1+(n－1)a₁x^n－2+L+a_n－1

微分学中仅考虑实变数函数的导数，而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样.

[单根与重根]

1° 多项式的单根不是它的导数的根.

2° 多项式的m重根（即有m个根相同）是它的导数的m－1重根（m>1）.

3° 若x₁,x₂,L,x_k分别为f (x)的α₁,α₂,L,α_k(α₁+α₂+L+α_k=n)重根，则

f (x)=a₀(x－x₁)(x－x₂)L(x－x_k)

[洛尔定理及其推论]  由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程f (x)=0的两个实根之间总有(x)=0的一个实根.

从这个定理可推出下列两个推论：

1° 若f(x)的一切根都是实的，则(x)的一切根也是实的.在f(x)的相邻两根之间有(x)的一个根并且是一个单根.

2° 若f(x)的一切根都是实的，且其中有p个（计算重根）是正的，则(x)有p个或

p－1个正根.

       [多项式的相关]

1° 若多项式f (x),(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数α₁,L,有相等的值，即f(α_i)=(α_i) (i=1,L,n+1),则f (x)= (x).

       2° 多项式f (x)和(x)的根完全相同的充分必要条件是f (x)和(x)只差一个不等于零的常数因子.

       [整根与有理根] 任意整系数方程f (x)=0，若有一个有理根（为既约分数），则p是α_n的约数，q是α₀的约数.

由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为1，则它的有理根必为整数.

       [实根与复根，共轭实根与共轭复根]

       1°  任意有理系数方程f (x)=0，若有一个根a+(a,b是有理数，是无理数)，则必有另一个根a－.这时a+与a－称为一对共轭实根.

       2° 任意实系数方程f (x)=0的复根只可能是成对的共轭复根，并且根的重数相同.从而，复根的个数是偶数.

       3° 任意实系数奇数次方程f (x)=0至少有一个实根.

       4° 任意实系数偶数次方程f (x)=0,a₀a_n<0,则至少有两个实根（一个正根和一个负根）.

       [根与系数的关系]  设

f (x)=xⁿ+a₁x^n－1+L+a_n

为复数域S上的一元多项式，x₁,x₂,L,x_n为f (x)在S中的n个根，则根与系数的关系为

x₁+x₂+L+x_n==－a₁

x₁x₂+x₁x₃+L+x_n-1x_n==a₂

x₁x₂x₃+x₁x₂x₄+L+x_n-2x_n-1x_n==－a₃

LLLLLL

x₁x₂Lx_n=(－1)ⁿa_n

这就是说，f (x)的x^n-k的系数a_k等于从它的根x₁,x₂,L,x_n中每次取k个（不同的）一切可能乘积之和,若k是偶数,则取正号，若k为奇数，则取负号.

       [根的范围]  设ξ为复系数代数方程

f (x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+L+a_n-1x+a_n=0                                        (1)

的根.

       1° 若所有系数a_i0 (i=0,1,L,n),则,其中为实系数代数方程

F(x)=xⁿ－x^n－1-L-=0

的一个正实根.

       2° 设γ₁,γ₂,L,γ_n-1为任意正数，则τ,其中τ为下列n个数中最大的一个:

+,  +,  L,  L+,

特别,取γ_i=1(i=1,2,L,n－1)时,有

max                              (2)

方程(1)中作变换x=,可求出的上界，因而得到

                            (3)

更进一步，记(2)式右边为M，记(3)式右边为m，如果取ρ<M,使得

L

取>m，使得

L

那末有.

       3° 设γ为任意正数，则，其中

τ₁=max

特别，取γ=1，有

       4° 若所有系数都为正实数，则

min

       5° 若方程（1）的系数满足不等式

则方程（1）至多有一个绝对值≥1的根ξ₁，而且

       [多项式的分解]

       1° 设f (x)为实数域上的多项式，若有非常数的实系数多项式g(x)和h(x),使得

f (x)=g(x)h(x)

则称f (x)为实数域上可约（或可化），否则称f(x)为实数域上的不可约多项式.

       2° 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含（共轭）复根的二次多项式.

       3° 每个实系数多项式都可分解为实系数的一次因式与二次因式之积.

有理数域上的多项式的分解见第二十章，§5，2.

       [余数定理与综合除法]  若c为一常数，则多项式f (x)除以x－c所得的余数等于f(c).

设 f (x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+L+a_n－1x+a_n

求f (x)除以x－c的商式与余数其计算格式如下：

c)   a₀ a₁ a₂ L a_n-1 a_n

b₀c b₁c L b_n-2c b_n-1c

b₀ b₁ b₂ L b_n-1 b_n

式中b₀=a₀,b_i=a_i+b_i-1c(i=1,2,L,n).于是得到

商式 q(x)=b₀x^n-1+b₁x^n-2+L+b_n-1

余数 r=b_n=f(c)

例 f (x)＝ 除以 x－2. 列出算式

       2)  1    2   －3    0   －5

                2    8    10    20

           1    4    5    10    15= f (2)

所以

       [多项式的泰勒公式（秦九韶法）]  n次多项式

f (x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+L+a_n-1x+a_n (a₀0)

在任意点c的泰勒展开式为

f (x)=b₀(x－c)ⁿ+b₁(x－c)^n-1+L+b_n-1(x－c)+b_n

式中系数b_i (0≤i≤n)按下面的方法计算.

首先在(n+2)(n+2)方阵的对角线上列出a₀,a₁,L,a_n,d（d为符号），在第1列上列出a₀(即a_i,i=a_i-1,i=1,2,L,n+1;a_n+2,n+2=d;a_i,1=a₀,i=1,2,L,n+2).

然后再按递推公式

a_i,jc+a_i,j+1=a_i+1,j+1  (i=2,L,n+1; j=1,L,i－1)

自上而下，自左而右依次计算出对角线下其余各元素，那末第n+2行各元素即为所求系数，即

b₀=a₀,  b_i=a_n+2,i+1    (i=1,2,L,n)

例 求f (x)＝ 在x=2处的泰勒展开式.

解

则

f (x)＝

二、多元多项式·对称多项式·结式

       [多元多项式]  设常数c₁,c₂,L,c_k属于一个数域S,α_i,β_i,L,ν_i(i=1,2,L,k)是正整数或零，则称形如

L+

的表达式为数域S上元素x₁,x₂,L,x_n的n元多项式.称为它的项，c_i为它的系数，α_i为项中关于x₁的次数，β_i为项中关于x₂的次数,等等.α_i+β_i+L+为项的次数.在多项式中系数不为零的任一项关于x_i的最高次数称为多项式关于x_i的次数，系数不为零的任一项的最高次数叫做多项式的次数.各项次数都相等的多项式称为齐次多项式.

每个m次多项式f(x₁,x₂,L,x_n)都可唯一地表示成

f(x₁,x₂,L,x_n)=

式中f_i(x₁,x₂,L,x_n)为i次齐次多项式.

为了方便，经常把一个多元多项式按某一个变数，例如x₁的降幂排列如下：

a₀(x₂,L,x_n)x₁^m+ a₁(x₂,L,x_n)x₁^m-1+L+ a_m(x₂,L,x_n)

式中a₀(x₂,L,x_n), a₁(x₂,L,x_n),L, a_m(x₂,L,x_n)为x₂,L,x_n的n－1元多项式.

若f₁,f₂,L,f_k分别为m₁,m₂,L,m_k次的多元多项式，则乘积f₁f₂Lf_k为m₁+m₂+L+m_k次.

       [对称多项式]  如果在一个n元多项式f(x₁,x₂,L,x_n)中，对调任一对x_i和x_j后，f(x₁,x₂,L,x_n)不变，那末称它为x₁,x₂,L,x_n的对称多项式.

       [初等对称多项式]  设

LLLLLL σ_n=x₁x₂Lx_n

则称σ₁,σ₂,L,σ_n为初等对称多项式.例如，由多项式的根与系数的关系（本节，一）可知，多项式的系数除符号外都是根的初等对称多项式.

       [对称多项式基本定理]  在数域S上，每个n元对称多项式f(x₁,L,x_n)都可唯一地表成x₁,L,x_n的初等对称多项式（系数在S中）的多项式.

       [牛顿公式]   设

f(x)=(x－x₁) (x－x₂)L (x－x_n)=xⁿ－σ₁x^n－1+L+(－1)ⁿσ_n

s_k=x₁^k+x₂^k+L+x_n^k        (k=0,1,2,L)

则下面牛顿公式成立：

k≤n时,   s_k－σ₁s_k-1+σ₂s_k-2+L+(－1)^k-1σ_k-1s₁+(－1)^kkσ_k =0

k>n时， s_k－σ₁s_k-1+σ₂s_k-2+L+(－1)ⁿσ_ns_k-n=0

       [结式]    设

f(x)=a₀x^m+a₁x^m－1+L+a_m=a₀          (m>0)

j(x)=b₀xⁿ+b₁x^n－1+L+b_n=b₀          (n>0)

则

        R(f,j)=

这个m+n阶行列式R(f,j)称为多项式f(x)和j( x)的结式，式中空白处的元素都是零.结式具有性质：

R(f,j)=(－1)^mn R(j,f)

R(f,j)=

设a₀,b₀不全为零，则f(x),j(x)在复数域上有公共根的充分必要条件是它们的结式R(f,j)=0.

行列式R(f,j)是f(x)与j(x)的系数的一个m+n次齐次多项式，关于a₀,a₁,L,a_m是n次齐次多项式，关于b₀,b₁,L,b_n是m次齐次多项式.

三、代数方程的根的隔离

       [傅立叶-布当判别法]  设f(x)=0为实系数n次代数方程，a,b为二实数，适合a<b，f(a)≠0,f(b)≠0,f(x)的各阶导数为

f(x),(x),L,f ⁽ⁿ⁾(x)

若序列                                        { f(a),(a),L,f ⁽ⁿ⁾(a)}

的变号次数*为p，序列

{ f(b),(b),L,f ⁽ⁿ⁾(b)}

  *序列的变号次数定义如下：设两个相邻数都不为零，它们的符号相反，则称两数之间有一次变号，否则变号次数为零.如果遇到零时则应考虑该数后面第一个非零数是否变号.也就是说把序列中的一切零去掉再考虑变号次数.

的变号次数为q，则p≥q，且a与b之间的f(x)=0的实根个数（一个k重根按k个根计算）等于p－q，或者比p－q少一个正偶数.

特别，当p-q=0时，(a,b)内无实根，当p－q=1时，(a,b)内只有一个实根.

       [笛卡儿符号法则]  设

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+L+a_n=0                (a₀≠0,a_n≠0)

为实系数n次代数方程，若系数序列

                                                        {a₀,a₁,L,a_n}

的变号次数为p，则方程f(x)=0的正根个数（一个k重根按k个根计算）等于p，或者比p少一个正偶数.

特别，当p=0时，无正根，当p=1时，有且仅有一个单正根.

上面两个定理没有解答这样的问题：一个给定的实系数方程是否有实根，有几个实根，并且在给定的区间(a,b)内有几个实根.斯图姆解决了这些问题.

       [斯图姆判别法]  设f(x)为区间(a,b)内的无重根的实系数多项式，a,b为二实数，适合a<b,f(a)≠0,f(b)≠0,以f₀(x)表示f(x)，以f₁(x)表示f(x)的导数(x).用f₁(x)除f(x)，并以f₂(x)表示由这个除法所得到的余式反号后的多项式，然后用f₂(x)除f₁(x)，并以f₃(x)表示余式反号后

的多项式，这样继续下去，最后一个记作f_s(x) (等于非零常数).这样得到的函数序列

                            {f₀(x),f₁(x),f₂(x),L,f_s(x)}                                              (1)

称为在区间(a,b)内以f(x), (x)为基的一个斯图姆组.

若序列

                            {f₀(a),f₁(a),f₂(a),L,f_s(a)}

的变号次数为p，序列

                            {f₀(b),f₁(b),f₂(b),L,f_s(b)}

的变号次数为q，则f(x)=0在区间(a,b)内的实根个数等于p-q.

应用斯图姆判别法可以查清实系数代数方程的根在实轴上的分布情况.特别，可以求出一组区间，使得每个区间内只含有方程的一个根.

关于代数方程f(z)=0的复根个数可参看第十章，§4，二的辐角原理.

       [卢斯判别法]  假设实系数多项式

f(z)=zⁿ+a₁z^n－1+L+a_n－1z+a_n

以 f₀(t)=t ⁿ－a₂t^n－2+a₄t^n－4-a₆t^n－6+L

f₁(t)=a₁t^n－1－a₃t^n－3+a₅t^n－5－L

为基的斯图姆组为

{f₀(t),f₁(t),f₂(t),L,f_s(t)}                                          (2)

       1° f(z)=0在虚轴及右半平面上没有根的充分必要条件是：斯图姆组（2）内s=n，且每个多项式的次数比前一个低一次，首项系数都是正数.

       2° 若斯图姆组（2）内s=n，则组内每个多项式的次数比前一个低一次，f(z)=0在虚轴上没有根，在右半平面的根的个数等于首项系数组成的序列的变号次数.

       3° f(z)=0在右半平面上没有根而在虚轴上有p个根的充分必要条件是：斯图姆组（2）内s=n-p，且每个多项式的次数比前一个低一次，首项系数都是正数，且最后的p次方程

f_n－p(z)=0有p个实根.这些实根就是f(z)=0在虚轴上的p个根的虚部.

如果考虑f(z)=0在单位圆上和单位圆外的根数问题，只要作线性变换

z=

化为对g()=0在虚轴上和右半平面上根数的讨论.对此用卢斯判别法可以解决.

       [胡尔威茨判别法]  实系数多项式

f(z)=zⁿ+a₁z^n－1+L+a_n

的一切根都位于左半平面上的充分必要条件是系数a₁>0，并且多项式

f₀(t)=tⁿ－a₂t^n－2+a₄t^n－4+L

和

f₁(t)=a₁t^n－1－a₃t^n－3+a₅t^n－5－L

的根都是互相间隔的实根.