第四章 矩阵 · 行列式 · 线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分.
在前一部分,叙述了矩阵和行列式的基本概念,重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算,此外,还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法,及有关的内容,如相似变换等;在线性方程组部分,着重介绍含n个未知量的n个方程的方程组解法,也简单地讨论了解的结构.最后对整系数线性方程组和线性不等式组也作了扼要说明.
§1 矩阵与行列式
一、矩阵及其秩
[矩阵与方阵] 数域(第三章,§ 1)F上的m×n个数aij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)按确定的位置排成的矩形阵列,称为m×n矩阵.记作
A=
其中横的一排叫做行,竖的一排叫做列,aij称为矩阵的第i行第j列的元素,矩阵A简记为(aij)或(aij)m´n.
n×n矩阵也称为n阶方阵,a11,a12,…,ann称为矩阵A的主对角线的元素.
行数m与列数n都是有限的矩阵,称为有限矩阵.否则称为无限矩阵.
[矢量的线性相关与线性无关]对于n维空间的一组矢量x1,x2,…,xm,若数域F中有一组不全为零的数ki (i=1,2,…,m),使
k1x1+k2x2+…+kmxm=0
成立,则称这组矢量在F上线性相关,否则称这组矢量在F上线性无关.
矢量组的线性相关性的讨论:
1° 矢量组x1,x2,…,xm线性相关的充分必要条件是:其中至少有一个矢量xi可用其他矢量的线性组合来表示,即
2° 包含零矢量的矢量组一定线性相关.
3° 矢量组x1,x2,…,xm中,若有两个矢量相等:xi=xj(i≠j),则该矢量组线性相关.
4° 若矢量组x1,x2,…,xr线性相关,则再添加若干个矢量后所组成的矢量组仍然线性相关;若矢量组x1,x2,…,xm线性无关,则其中任一部分矢量组成的矢量组也线性无关.
5° 若x1,x2,…,xr线性无关,而x1,x2,…,xr+1线性相关,则xr+1可以表示为x1,x2,…,xr的线性组合.
[行矢量与列矢量 · 矩阵的秩] 由矩阵任一行的元素构成的n维矢量称为行矢量,记为
ai=(ai1,ai2,...,ain) (i=1,2,...,m)
由矩阵任一列的元素构成的m维矢量称为列矢量,记为
(j=1,2,...,n)
式中t表示转置,即行(列)转换为列(行).
若矩阵A的n个列矢量中有r个线性无关(r≤n),而所有个数大于r的列矢量组都线性相关,则称数r为矩阵A的列秩.类似可定义矩阵A的行秩.
矩阵A的列秩与行秩一定相等,它也称为矩阵的秩,记作rank A=r.
矩阵的秩也等于该矩阵中不等于零的子式(见本节,二)的最大阶数.
二、行列式
1. 行列式及其拉普拉斯展开定理
[n阶行列式] 设
是由排成n阶方阵形式的n2个数aij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数,其值为n!项之和
式中k1,k2,...,kn是将序列1,2,...,n的元素次序交换k次所得到的一个序列,Σ号表示对k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和,那末数D称为n阶方阵相应的行列式.例如,四阶行列式是4!个形为的项的和,而其中a13a21a34a42相应于k=3,即该项前端的符号应为
(-1)3.
若n阶方阵A=(aij),则A相应的行列式D记作
D=|A|=detA=det(aij)
若矩阵A相应的行列式D=0,称A为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵.
[标号集] 序列1,2,...,n中任取k个元素i1,i2,...,ik满足
1≤i1<i2<...<ik≤n (1)
i1,i2,...,ik构成{1,2,...,n}的一个具有k个元素的子列,{1,2,...,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有个子列.因此C(n,k)是一个具有个元素的标号集(参见第二十一章,§1,二),C(n,k)的元素记作σ,τ,..., σ∈C(n,k)表示
σ={i1,i2,...,ik}
是{1,2,...,n}的满足(1)的一个子列.若令τ={j1,j2,...,jk}∈C(n,k),则σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk.
[子式 · 主子式 · 余子式 ·代数余子式]
从n阶行列式D中任取k行与k列(1≤k≤n-1),由这k行与k列交点处的元素构成的k阶行列式称为行列式D的k阶子式,记作
, σ,τ∈C(n,k)
如果所选取的k行k列分别是第i1,i2,...,ik行与第i1,i2,...,ik列,则所得到的k阶子式称为主子式.即当σ=τ∈C(n,k)时,是主子式.
从行列式D中划去k行(σ)与k列(τ)后得到的n-k阶行列式称为子式的余子式,记作.
如果σ={ i1,i2,...,ik},τ={ j1,j2,...,jk},则称
为子式的代数余子式.
特别,当k=1时,σ={i},τ={j},子式就是一个元素aij, aij的余子式记作,aij的代数余子式记作Aij,即
且有 (2)
或 (3)
[拉普拉斯展开定理] 在n阶行列式D中任取k行(1≤k≤n-1),那末包含于所选定的这些行中的所有k阶子式与它们各自的代数余子式的乘积之和等于行列式D,即对任意σ∈C(n,k),1≤k≤n-1,
(4)
式中∑表示对标号集C(n,k)中的所有元素求和.
拉普拉斯定理中是对行进行的,对列有类似结果
(5)
此外还有
(6)
(7)
显然(2),(3)分别是(6),(7)的特例.
[拉普拉斯恒等式] 设A=(aij)m´n,B=(bij) m´n(m≥n),又设l=,A的所有n阶子式为U1,U2,...,Ul,B的相应的n阶子式为V1,V2,...,Vl,则
det(AτB)=
2.行列式的性质
1° ïA1A2LAmï=ïA1ïïA2ïLïAmï
ïAmï=ïAïm, ïkAï=knïAï
式中A1,A2,L,Am全为n阶方阵,k为任一复数.
2° 行与列互换后,行列式的值不变,即
||=|A|
式中表示A的转置矩阵(见本章§2).
3° 互换行列式的任意两行(或列),行列式变号.例如
=
4° 用数α乘行列式的一行(或列),等于将行列式乘以数α.例如
=α
5° 将行列式的一行(或列)元素乘以数α后加到另一行(或列)的相应元素上,行列式的值不变.例如
=
6° 若行列式中有一行(或列)全为零,则行列式等于零.
若行列式中有两行(或列)对应的元素完全相同或成比例,则行列式为零.
若行列式中有一行(或列)元素是其他某些行(或列)对应元素的线性组合,则行列式为零.
7° 若行列式中某一行(或列)的所有元素都可表示为两项之和,则该行列式可用两个同阶的行列式之和来表达.例如
=+
3.几个特殊行列式
[对角行列式]
=
[三角形行列式]
=
[二阶行列式]
[三阶行列式]
=++———
行列式的值,等于各实线上元素乘积之和减去各虚线上元素乘积之和.
[四阶行列式]
=-+-
=-+
+-+
注意,四阶和四阶以上的行列式不能采用三阶行列式那种记忆方法,应按拉普拉斯展开定理采用逐步降阶的方法展开.
[范德蒙行列式]
=
式中Õ是对一切数对(i,j)(1£j<i£n)求积.
[倒数对称行列式]
=