§3 积分的应用

一、求面积

 

       [平面图形面积计算公式]

图  形

面 积 S

  

  曲边梯形

 

 

 

 

 

 

图  形

面 积 S

扇形

 

 

 

S=

      或  S=2

式中表示上的曲线方程，s表示上的曲线的长度，ds为弧的微分，为曲线重心

  G到旋转轴的距离.

曲面

       

    在的区域上

 

 

 

  式中

柱面夹在曲面和平面之间

 

 

 

式中C为柱面的准线，ds为曲线C(A,B)上的弧的微

分 .

 

 

 

 

二、求体积

 

图 形

体 积V

 

 式中为上的曲线方程

式中A为所旋转的平面图形的面积，为该平面图形重心G到旋转轴（x轴）的距离，此公式对计算环状体积较为方便.重心求法见本节，四

 

 式中S(x)为垂直于x轴的截面面积

  在曲面与区域

  之间

 

空间区域V由下列曲面围成：

（曲面）

 （直柱面）

          （平面）

式中为Oxy平面上的区域，它由曲线  ，围成

 

 

三、n维空间中凸体体积公式

 

       n维空间的点的坐标为().所谓n维空间中的凸体，是指中任意两点A和B的连线仍在中，即设A=B=,若A,B∈，则点.其中

                       , i=1,2,…,n

       下面列出几种凸体体积的计算公式.

       [单纯形]  已知n维空间中的n+1个点，包含这n+1个点的最小凸体称为由张成的单纯形，记作，若设的n个坐标为

                     ()     i=1,2,…,n+1

则单纯形的体积

                    

n=2时为三角形，n=3时为四面体.

       [超立方体]

                     : | |≤,  i=1,2,…,n

                     V=

       [广义八面体]

       1°1:≤r, >0, i=1,2,…,n

       2°2:≤r, >0, >0，i=1,2,…,n-1

             

       [n维球体]

              :

             

    [凸体的线形变换]  设有线性变换

                     = ,  i=1,2,…,n

                     J=det(dij)≠0

将凸体R映成，则的体积为

这里为该线性变换的雅可比式.

 

四、求重心

 

       [平面图形几何重心坐标的计算公式]

图    形

几何重心

平面曲线

曲边梯形

      

 [物体总质量与重心坐标的计算公式]

物体形状及密度

总质量M与重心

薄板

是薄板的面密度

物体形状及密度

总质量M与重心

是物体的密度

式中ds 为弧的微分，以上积分为曲线积分。

 

 

五、求转动惯量

 

       [薄板的转动惯量]  设Oxy平面内薄板Ω的密度为ρ=ρ(x,y)，对于x轴,y轴，原点O的转动惯量分别为,则

 

         

 

 

       [一般物体的转动惯量]  设物体V的密度ρ=ρ(x,y,z).若物体对于坐标平面的转动惯量分别为;物体对于某轴l的转动惯量为;物体对于坐标轴的转动惯量分别;物体对于原点的转动惯量为,则

 

 

 

式中r为物体的动点到轴l的距离.

 

      

      

      

 

六、求流体压力

 

       设流体接触面的边缘曲线为y=f(x)（图6.9),流体密度为w，则单侧压力

                    

 

七、求变力所做的功

 

       1°若s为路程，f(s)为变力，则

                    

       2°若s为路程，运动路线为C，f(x,y)为变力，θ为变力f与路线C切线的夹角，则

             

       3°若变力沿坐标轴的三个分力分别为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)，C为空间运动路线，则