§4 区域函数

一、区域函数与密度函数

设σ是空间Ω的区域，当变量u随区域σ的变化而变化时，称u是区域σ的函数，记作u=u(σ).把区域的度量（长度、面积或体积）仍记作σ，把σ无限细分，使包含M（区域中的一点）的小区域的度量→0，如果u的改变量为Δu,并且极限

存在，则称u(M)为区域函数u(σ)的密度，记作

它是点M的函数，称为密度函数，它的微分形式是

                                                       (1)

例如，当σ是三维空间的曲面时，(M)就是曲面的面密度，当σ是三维空间的物体时，(M)就是体密度.实际上，(M)都是x,y,z的三变量函数.

二、密度函数的积分

由 (1)得到

由于积分区域的变化，这些积分又是各种形式的区域函数，例如

       [直线上的线密度与单积分]  令σ=I=[a,b],则非均匀细杆的质量

式中为线密度.

       [平面上的面密度与二重积分]  设薄片的密度为（x,y）,则薄片质量为

式中D表示薄片在平面上的区域.

       [体密度与三重积分]  设物体的密度为（x,y,z）,则物体的质量为

式中V表示物体在空间中的区域.

       [线密度关于弧长元素的积分]  由于曲线段l的质量元素是

所以曲线段的质量为

       [曲面上的面密度与关于曲面元素的积分]  分布在曲面S上的质量为

式中D为S在Oxy平面上的投影区域，S的方程为z=f(x,y),x,y∈D.这种形式的积分称为函数(M)关于曲面元素dS的积分.

三、δ-函数的概念

在讨论直线上有集中质量分布时，例如只在原点x=0处有集中质量m,而在其他各点都没有质量，这时，对直线上坐标不等于零的点，总可以取包含这个点的充分小的区间Δl,使Δl不包含点x=0，则区间Δl上的平均密度为零，所以在点x(≠0)的密度也是零；而在点x=0处，若Δl包含这个点，由于

当Δl→0时，平均密度趋于无穷大.在包含点x=0的任何区间[a,b]内,质量总等于m,这时仍认为存在密度函数u(x),

特别，当m=1时，记这种密度函数为δ（x）,即

\

对包含点x=0的任何区间I，有

或

称这个函数δ（x）为δ-函数(也称为狄拉克函数或脉冲函数).

δ-函数具有一个重要性质： 对任一连续函数f(x),有

这个性质表明，δ-函数虽然不符合古典的“一点对应一点”的函数定义，但它和任意连续函数的乘积在（-∞，∞）内的积分却有明确的定义.因此δ-函数在近代物理和工程技术中有着比较广泛的应用.