§9 空间曲线
一、
曲线的基本概念与公式
[曲线的方程与正向]
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曲 线 方 程 的 形 式 |
曲 线 的 正 向 |
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交面式 参数式 （t为任意参数，s为曲线的弧长） 矢量式r = r ( t )或r = r ( s ) （r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, t, s同上） |
t（或s）增加时，曲线上一点运动的方向 |
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图 7.18 |
[活动标架的三个单位矢量] t为单位切线矢量，方向与曲线的正向一致；n为单位主法线矢量，它指向曲线的凹方；b为单位副法线矢量，b=t
n.t,n,b构成右手系（图7.18）.这三个矢量称为曲线在点M的活动标架（或叫动标三面形、伴随三面形，也叫活动标形）.
[活动标架所在直线和平面的方程] 设M为(x0,y0,z0)（图7.18）.
1° 切线 过曲线上两点N,M的直线NM，当N
M时的极限位置.其方程为
参数式
（以t为参数）
式中
表示
在点M(x0,y0,z0)处的值，等等.参数t可以取为弧长s，这时用表示
，等等.
矢量式 r=r0+
（以t为参数）
式中
表示
在点M(x0,y0,z0)处的值，
为另一个参数.
交面式
式中
表示
在M点的值，等等.
2° 法面 与切线垂直的平面（通过M的法面上一切直线都称为曲线在M的法线）.其方程为
参数式 (x-x0)+
(y-y0)+
(z-z0)=0（以t为参数）
式中也可取弧长s为参数.
矢量式
(r-r0)
=0（以t为参数）
交面式
3° 密切面 通过曲线上三点M,P,N作一平面，当
时，平面的极限位置（切线在密切面上）.其方程为
参数式
（以t为参数）
式中
表示
在M点的值，等等，参数t也可取为弧长s.
矢量式 ((r-r0)
)=0（以t为参数）
4° 主法线 法面与密切面的交线.其方程为
参数式 
（以t为参数）
式中
l=
, m=
, n=
（以s为参数）
表示
在点M的值，等等.
矢量式
r=r0+
（以t为参数）
r=r0+
（以s为参数）
式中为另一个参数.
5° 副法线 垂直于密切面的直线.其方程为
参数式
（以t为参数）
式中l,m,n如(1)式定义.
矢量式
r0=r0+
（以t为参数）
6° 从切面 通过切线与副法线的平面.其方程为
参数式 
（以t为参数）
（以s为参数）
矢量式
（以t为参数）
（以s为参数）
[曲率与挠率的定义与公式]
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公 式 与 意 义 |
图 形 |
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曲率
曲率半径
k表示包含点M的部分曲线偏离直线的程度，也是切线方向对于弧长的转动率 |
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挠率
挠率半径
挠率 |
(a)
(b) |
表中
分别表示t,b对s的导数.
[曲率与挠率的计算公式]
1° 曲率
参数式
k=
（以t为参数）
k=
（以s为参数）
矢量式
k=
或
（以t为参数）
k=
（以s为参数）
2° 挠率的绝对值
参数式
（以t为参数）
（以s为参数）
矢量式
或
（以t为参数）
（以s为参数）
式中s为弧长，t为任意参数，“¢”表示对s求导,“×” 表示对t求导.
[雪列-弗莱纳公式（或基本公式）]
, 
, 
式中t,n,b为活动标架的三个基本单位矢量，
为曲率半径，
为挠率半径.这组公式的特点就是基本矢量t,n,b关于弧长s的导数可以用t,n,b的线性组合来表达，它的系数组成一个反对称方阵：
这组公式与
=t合并起来描述了点M在曲线上移动时活动标架的运动规律.
把活动标架看作一个刚体，就是当M沿曲线移动时，M的活动标架好象刚体那样绕M转动.这时把s看作时间，则根据运动学的原理可以得出活动标架的瞬时转动速度的表达式为
这表明转动矢量落在从法面上.这个瞬时转动矢量称为达布矢量.它仅分解为两个矢量
t和b，因此活动标架的瞬时转动可以看作两个转动之和.一个转动对应于t,按转动速度的定义，它绕着方向为t的轴转动；另一个绕着方向为b的轴转动.因此得到曲率与挠率的运动学意义：
曲线的曲率等于活动标架绕着副法线的转动支量，挠率等于绕着切线的转动支量.
最后，由可以验证，空间曲线的雪列-弗莱纳公式就是
这就是雪列-弗莱纳公式的运动学意义.
[基本定理与自然方程] 在一闭区间a
sb上给定任意两个连续函数k(s)和(s)，其中k(s)>0，则除了空间的位置差别外，唯一地存在一条空间曲线，它以s为弧长，可k(s)为曲率，(s)为挠率.
方程组
k=k(s), =(s)
称为空间曲线的自然方程.
二、
螺旋线的方程与图形
[一般螺旋线] 与柱面母线的交角为定角(
)的空间曲线称为一般螺旋线（或定倾曲线）.这种曲线具有性质：
1° 曲率与挠率的比等于常数(k=tan).
2° 切线与一固定方向的交角为定角().
3° 主法线与一固定方向垂直.
4° 副法线与一固定方向的交角为定角
.
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图 7.19 |
[圆柱螺旋线] 一动点绕一直线作等速转动，并沿这直线作等速移动，则称这个动点的轨迹为圆柱螺旋线（图7.19），其参数方程为
式中
，
为角速度，h称为螺距，
称为螺旋角，式中对右螺旋线取正号，对左螺旋线取负号，如果以弧长s为参数，其方程为
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图 7.20 |
曲率与挠率都是常数：k=
, 
[圆锥螺旋线] 与一圆锥面母线的交角为定角的曲线称为圆锥螺旋线（图7.20），其方程为
式中
为圆锥顶角的一半，为螺旋角，
都是常数.由于这种曲线投影到Oxy平面上是对数螺线，所以又称其为圆锥对数螺线.