第八章 矢量算法与场论初步·张量

算法与黎曼几何初步

本章包括两个部分.

第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n维空间中去.

第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.

§1 矢量算法

一、 矢量代数

［矢量概念］ 只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.

具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量．

在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB来表示矢量.用长度表示大小，用端点的顺序AB表示方向.A称为始点，B称为终点，这个矢量记作，或用黑正体字母a表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值，用记号或|a|表示.

矢量按其效能可分成三种基本类型：

具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶.

沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力.

作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度.

在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量.

模等于1的矢量称为单位矢量.

模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量.

模与矢量的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量，记作-a.

始点与原点O重合而终点位于一点M的矢

量(图8.1)称为点M的矢径(或向径)，记作

r，原点称为极点.如果M的直角坐标为x，y，z ,

则有

r＝＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk

式中i，j，k分别为x轴，y轴，z轴的正向单位

矢量，称为坐标单位矢量(或基本矢量).

［矢量的基本公式］

名 称	公 式	图 形
矢量a的坐标表示 坐标单位矢量i，j，k 的坐标表示 零矢量的坐标表示 a的长度(或模) a的方向余弦(,, 为a的方向角) 矢量(两端点 A， Ｂ的坐标分别为( ax,ay,az), (bx,by,bz)	a＝axi＋ayj＋azk＝(ax, ay, az) i＝(１，０，０) j＝(０，１，０) k＝(０，０，１) 0＝(０，０，０)(0无方向) = a＝ ＝(bx－ax)i＋(by－ay)j ＋(bz－az)k

［加法］ 若a＝(a_x,a_y,a_z)，b＝(b_x,b_y,b_z)，则

a＋b=( a_x＋b_x,a_y＋b_y,a_z＋b_z)

把矢量的始点移到原点O，以a，b为边作平行四边行，由原点作出的对角线就表示和矢量a＋b(称为平行四边形法则，见图8.2);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为和矢量a+b(称为三角形法则，见图８.3).

加法运算适合如下规律：

(交换律)

(结合律)

a＋０＝０＋a＝a，a＋(－a)＝０

［减法］ 若a＝(a_x,a_y,a_z)，b＝(b_x,b_y,b_z)，则

a－b＝(a_x－b_x，a_y－b_y，a_z－b_z)

把矢量b的负矢量与矢量a相加，得矢量a－b

(图8.4).

对任意两个矢量a和b成立三角形不等式：

|a＋b||a|＋|b|

［数乘］ 以实数乘矢量a称为数乘，记作a.当>０时，a的模伸缩倍，方向保持不变；当<０时，a的模伸缩||倍，而方向与a相反(图8.5)，如果a=(a_x,a_y,a_z)则

a＝(a_x, a_y, a_z)

设，为两实数，a，b为两矢量，则数乘运算适合

下列规律：

(a)＝()a (结合律)

(＋)a＝a＋a (分配律)

(a＋b)＝a＋b (分配律)

［矢量的分解］

1 设a，b，c为三个共面的矢量，而b和c为非共线矢量，如果把它们移到公共始点Ｏ，由矢量c的终点C作两条平行于a，b的

直线，各交a，b(或延长线)于Ｍ，Ｎ(图８.6)，则

c＝+= a＋b

这称为矢量c对a，b的分解.

2 设a，b，c 为非共面矢量，而d为任一矢量，把

它们移到公共始点Ｏ，由矢量d的终点D作三个平面分别

平行于(b，c)平面，(c，a)平面和(a，b)平面，且与a，b，c(或延长线)分别交于Ｌ，Ｍ，Ｎ(图8.7)，则

d＝++＝a＋b＋

称为矢量d对a，b，c的分解.

3 如果两个非零矢量a与b有线性关系

a＋b＝０

式中, 不全为0，则称这两个矢量共线(即

a//b)；反之也真.称这两个矢量a，b为线性相关.

4 设a,b为两个非零矢量，若a＋b ＝０，则有＝０，＝０，这时称a，b为线性无关.

5 若三个非零矢量a，b，c有线性关系a＋b＋＝０，式中，，不全为零，则这三个矢量共面，反之也真.这时，称a，b，c为线性相关.如果a，b，c为三个非零矢量，而a＋b＋＝０，则有＝＝＝０，这时,称a，b，c为线性无关.

6 四个(或四个以上)矢量a，b，c，d必有线性关系；就是说它们一定线性相关.这时，必有不全为０的四个数，，，，成立a＋b＋＋d＝０.

［标量积(数量积、点积、内积)］ 设a＝(a_x, a_y, a_z)，b＝(ｂ_x,ｂ_y,ｂ_z)，|a|＝a，|b|＝b，a，b两矢量的夹角为，则称数值ab cos为矢量a，b的标量积(也称为数量积、点积或内积).记作

a·b＝ab＝ab cos(０)

可以看作矢量a的长度乘以矢量b在a上的投影的长度(图8.8).

标量积运算适合以下的规律：

a·b＝b·a (交换律)

a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律)

(a)·(b)＝a·b (数乘的结合律)

a·a＝a^２＝|a|^２＝a^２

若a，b为非零矢量，a·b＝０，则ab；反之也真.

i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝０

a·b＝a_xb_x＋a_yb_y＋a_zb_z (即对应坐标相乘之和)

［矢量积(叉积、外积)］ 设a＝(a_x,a_y,a_z)，b＝(b_x,b_y,b_z)，|a|＝a，|b|＝b，a，b两矢量的夹角为，则定义a×b为两矢量的矢量积(也称为叉积或外积),它是一个矢量,即长度等于以a，b为边的平行四边形的面积(图8.9阴影部分)

|a×b|＝ab sin (０)

它的方向垂直于两矢量a和b,并且a，b，a×b构成

右手系(图8.9).

矢量积运算适合下列规律：

a×b＝－b×a (反交换律)

(a+b)×c＝a×c＋b×c (分配律，次序不能交换)

(a)×(b)＝(a×b)

[(＋)a]×b＝(＋)(a×b)＝(a×b)＋(a×b)

a×a＝０

若a，b为非零矢量，则a，b共线(即a//b)的充分必要条件是：

a×b＝０

i×i＝j×j＝k×k＝０，i×j＝k，j×k＝i，k×i＝j

a×b＝＝(a_y b_z- a_z b_y)i+( a_z b_x－a_x b_z)j+( a_x b_y－a_y b_x)k

[两矢量的夹角]

cos(a，b)＝

sin(a，b)＝

[拉格朗日恒等式]

(a×b)·(c×d)＝(a·c)(b·d)－(a·d)(b·c)

特别 (a×b)²=a²b²－(ab)²

即 (a_y b_x- a_z b_y)²+( a_z b_x－a_x b_z)²+( a_x b_y－a_y b_x)²

＝(a_x²+a_y²+a_z²)(ｂ_x²+b_y²+b_z²)－(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)²

[三个矢量的混合积] 设a＝(a_x,a_y,a_z)，b＝(b_x,b_y,b_z)，c＝(c_x,c_y,c_z)为三个矢量,则它们的混合积定义为

(abc)＝a·(b×c)＝＝a_x(b_yc_z－b_zc_y)＋a_y(b_zc_x－b_xc_z)＋a_z(b_xc_y－b_yc_x)

混合积具有性质:

1 a·(b×c)＝(a×b)·c

注意,一般情况下等式

(a·b)·c =a·(b·c)

(a×b)×c =a×(b×c)

不成立.

2 (abc)＝(bca)＝(cab)=－(acb)=－(bac)=－(cba)

即有轮换性：

a·(b×c)＝b·(c×a)＝c·(a×b)＝－a(c×b)＝－b(a×c)＝－c(b×a)

3 混合积(abc)是一个数，它的绝对值等于以a，b，c为边的平行六面体的体积.

4 三个矢量共面的充分必要条件是：(abc)＝0.

[三重矢积]

a×(b×c)＝(a·c)b－(a·b)c

(a×b)×c＝(a·c)b－(b·c)a

采用a，b，c轮换法还可推出其余两个同类公式.

[多重积的几个公式]

a×(b×c)＋b×(c×a)＋c×(a×b)＝０

(a×b)·(c×d)＝＝(a·c)(b·d)－(a·d)(b·c)

(a×b)×(c×d)＝(abd)c－(abc)d＝(cda)b－(cdb)a

a×[b×(c×d)]＝(b·d)(a×c)－(b·c)(a×d)

(a×b b×c c×a)＝(abc)^２

(a_１a_２a_３)(b_１b_２b_３)＝

(a×b c×d e×f)＝(abd)(cef)－(abc)(def)

二、 矢量分析

1．矢量微分

[矢函数] 对于自变量t(标量)的每一个数值都有变动矢量a的确定量(长度与方向都确定的一个矢量)和它对应，则变(矢)量a称为变量t的矢函数，记作

a＝f(t)

矢函数也可表为

a=a_xi＋a_ｙj＋a_zk

式中

a_x＝f_x(t)，a_y＝f_ｙ(t)，a_z＝f_z(t)

为三个标函数.

若把变动矢量表成点M的矢径形式

r＝r(t)

则当t变动时，点M在空间中描出一条曲线，称为矢函数的矢端曲线.它的坐标由三个等式给定：

r =xi＋yj＋zk

x＝x(t)，y＝y(t)，z＝z(t)

[矢函数的极限与连续性] 若对任意给定的>0 , 都存在数>0，使得当t－t_０<时

r(t)－r_０<

成立，则称r_０为矢函数r(t)当tt_０时的极限，记作

= r₀

若存在，则

＝i+j+k

若 = r(t₀),则称矢函数r(t)在t＝t_０处连续.

[矢函数的导数与微分] 如果极限

存在，就称它为矢函数a＝f(t)的导数，记作.矢函数a＝f(t)的导数仍为矢函数，从而还可求它的导数，即二阶导数，记作，等等.

da＝dt

称为矢函数a＝f(t)的微分.

[矢函数求导公式]

＝0 (c为常矢量)

(ka)＝k (k为常数)

(a＋b＋c)＝

(a)＝a＋ (是t的标函数)

(a·b)＝·b＋a· (顺序可以交换)

(a×b)＝×b＋a× (顺序不可以交换)

(abc)=( bc)+(ac)+(ab) (顺序不可以交换)

a [(t)]=

(是t的标函数，这是复合函数的求导公式)

[矢径形式的矢函数求导公式] 设

r＝r(t)＝x(t)i＋y(t)j＋z(t)k

表示矢函数的矢端曲线，则

1 ＝=i＋j＋k

表示矢端曲线的切线矢量(图8.10)，指向t增加的方向，式中＝, =, =

2 = t

式中s为矢端曲线的弧长，t为切线的单位矢量.

3 ＝i＋j＋k

式中＝,=,=

[矢函数的泰勒公式]

r(t＋t)＝r(t)＋(t)t＋(t)(t)^２＋···＋r⁽ⁿ⁾(t)(t)ⁿ＋r_n(t)ⁿ⁺¹

式中

r_n＝x⁽ⁿ⁺¹⁾(t₁)i＋y⁽ⁿ⁺¹⁾(t₂)j＋z⁽ⁿ⁺¹⁾(t₃)k (t < t₁ , t₂ , t₃ < t＋t)

r⁽ⁿ⁾(t)= x⁽ⁿ⁾(t)i＋y⁽ⁿ⁾(t)j＋z⁽ⁿ⁾(t)k

x⁽ⁿ⁾=, y⁽ⁿ⁾=, z⁽ⁿ⁾=

[矢量函数的几个常用性质]

1 定长矢量r(t)(t)，反之也真.从而切线的单位矢量ｔ的导数与原矢量垂直.

2 定向矢量r(t)//(t)，反之也真.

3 一个变动矢量r(t)平行于一个定平面的充分必要条件是：混合积

()＝0

2．矢量积分

[不定积分] 设a(t)，b(t)为矢函数，则矢量微分方程

＝a(t)

的解

(t)dt＝b(t)＋c (式中c为任意常矢量)

称为矢函数a(t)的不定积分.

[定积分] 设a(t)和b(t)为矢函数，则

a(t)dt＝b(t₂)－b(t₁)

称为矢函数a(t)的定积分，t_１，t_２分别称为下、上限.

[平面面积矢量] 设

r＝ r(t)＝x(t)i＋y(t)j＋z(t)k

dr＝idx＋jdy＋kdz

则

S＝r×dr

式中L为r(t)矢端所画的闭曲线，S为L所包围的面积矢量，原点在闭曲线Ｌ内.