§3 仿射坐标系

一、 仿射坐标系与度量系数

[仿射坐标] 在三维欧氏空间V中，若取一个直角坐标系，其坐标单位矢量为i，j，k时，则空间中的矢量a可表示为

a＝a_x i＋a_y j＋a_z k

一般地，在空间中给定了三个不共面的矢量e₁，e₂，e₃，则空间中任一矢量a可按这三个矢量分解，令其系数为a¹,a²,a³(这里1,2,3不是指数，而是上标)则a可表示为

a＝a¹e₁＋a²e₂＋a³e₃

或简计作VV a＝aⁱe_i

a＝a¹,a²,a³＝{ aⁱ}VVV

这种坐标系e₁,e₂,e₃称为仿射坐标系，e₁,e₂,e₃称为坐标矢量，a¹,a²,a³称为矢量a的仿射坐标.

[欧氏空间中度量系数] 当矢量a写成上面的形式时，则它的长度a由

(a)²＝(aⁱe_i)(a^je_j)＝(e_ie_j)aⁱa^j

给出.令

e_ie_j＝g_ij(＝g_ji) (i，j＝1,2,3)

则称g_ij为仿射坐标系的度量系数.

1 矢量a的长度由

(a)²＝g_ijaⁱa^j

计算.

2 两个矢量

a＝aⁱe_i，b＝b^je_j

的夹角由

cos＝

计算.

3 因为g_ijaⁱa^j是正定二次型，所以由g_ij所作的行列式

混合积

(e_１,e_２,e_３)²= =g

(e_１,e_２,e_３)=

[克罗内克尔符号] 对称矩阵

的逆矩阵用

来表示.由逆矩阵的性质，有g^ij=g^ji和

g^ikg_kj=

式中

=

称为克罗内克尔符号.

[互易矢量] 利用这个g^ij规定

eⁱ=g^ije_j

因而有

e_j=g_ijeⁱ

eⁱe_k=(g^ije_j)e_k=g^ij(e_je_k)=g^ijg_jk=

eⁱe^j=(g^ile_l)(g^jme_m)=g^ilg^jm(e_le_m)=g^ilg^jmg_lm=g^il=g^ij

对e_１,e_２,e_３，可以得到

e¹=(e₂×e₃),

e²=(e₃×e₁), e³=(e₁×e₂)

e¹,e²,e³称为关于坐标矢量e₁,e₂,e₃的互易矢量. g^ij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数.

二、 逆变矢量与协变矢量

[逆变矢量与协变矢量] 如果矢量a在坐标系e_１,e_２,e_３中的仿射坐标a¹,a²,a³是由公式

a＝a¹e₁＋a²e₂＋a³e₃=aⁱe_i

给出，则a¹,a²,a³称为矢量a的逆变坐标(或称为抗变坐标)，而矢量aⁱ称为逆变矢量(或称为抗变矢量).

如果关于坐标矢量e_１,e_２,e_３的互易矢量为e¹,e²,e³，矢量a在坐标系e¹,e²,e³中的仿射坐标a₁,a₂,a₃是由公式

a＝a₁e¹＋a₂e²＋a₃e³=a_je^j

给出，则a₁,a₂,a₃称为矢量a的协变坐标，而矢量a_j称为协变矢量.

在直角坐标系中，矢量的协变坐标与逆变坐标是一致的.一般地，在仿射坐标系中协变坐标与逆变坐标有关系

a_i=a·e_i=(a^je_j)·e_i=a^j(e_j·e_i)=a^jg_ji

[逆变矢量与协变矢量的标量积]

如果a , b为两个矢量，a¹ ,a² ,a³ ; b¹ ,b² ,b³分别为它们的逆变坐标，则

a·b=g_ijaⁱb^j

如果a , b为两个矢量，a¹ ,a² ,a³ ; b₁ ,b₂ ,b₃分别为它们的协变坐标，则

a·b=g^ija_ia_j

如果a的逆变坐标为a¹,a²,a³,b的协变坐标为b¹ ,b² ,b³ , 则

a·b=aⁱb_i

三、 n维空间

[n维空间的定义] 如果空间中的点与n个独立实数x¹，···，xⁿ的有序组的值建立一对一且双方连续的对应，那末，以这样的点作为元素的集合称为n维实数空间V(简称n维空间)，记作Rⁿ.所以空间中一点M对应于一组有序数x^１，···，xⁿ；反之，一组有序数x^１，···，xⁿ对应于一点M.这样的一组有序数(x^１，···，xⁿ)称为n维空间Rⁿ中一点M的坐标.

[n维空间中的矢量] 在n维空间Rⁿ中取一定点O，坐标为(0,0,···,0)，另外一点M(x¹，x²，···，xⁿ)，r为对应于两点O和M的矢量，称为点M的矢径.

假定在Rⁿ中可以引进仿射坐标系，使得矢径r与点M(xⁱ)的坐标的关系是

r＝x¹e₁＋···＋xⁿe_n＝xⁱe_i

式中e₁，···，e_n是Rⁿ中n个线性无关的矢量，这种坐标系e_1,···,e_n称为Rⁿ中的仿射坐标系，x¹，···，xⁿ称为Rⁿ中矢量r的仿射坐标.

在三维空间中所讨论的许多结果，在n维空间中都成立，只要把公式中所出现的指标认为从1到n就行了.

[逆变矢量与协变矢量] 在n维空间Rⁿ中考虑一个任意坐标变换

VV (1)

其中函数关于xⁱ有连续的各阶导数(讨论中所需要的阶数)，变换的雅可比式不等于零：

因而(1)有逆变换

设a¹,···,aⁿ为xⁱ的函数，如果在坐标变换下，它们都按坐标微分一样地变换，即

则称aⁱ为坐标系(xⁱ)中一个矢量的逆变坐标，为坐标系中同一个矢量的逆变坐标.称矢量为逆变矢量.

如果a_i按

的形式变换，则称aⁱ为坐标系(xⁱ)中一个矢量的协变坐标，称 为坐标系中同一矢量的协变坐标，称矢量为协变矢量.

逆变矢量和协变矢量的变换系数是不同的，但是它们之间有关系式

式中为克罗内克尔符号.

例 标量场的梯度是一个协变矢量.

设n维空间的标量场为,它沿一无限小位移dxⁱ上的变更

是一个在坐标变换下的不变量，式中是的梯度的分量.因此在坐标变换下，

则

所以是一个协变矢量.

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V 欧几里得空间简称欧氏空间，它的定义见第二十一章，§4.

VV 这种缩写是张量算法中的写法.如果每个指标在乘积中出现一次，就表示它取一切可能的值；如果

每个指标在乘积中出现两次，就表示取一切可能的值，而后再把各项相加，求其总和.这种规定称

为爱因斯坦约定.

VVV 这是张量写法.

V n维实数空间另一定义见第二十一章，§3.

VV 这里用表示同一点M（xⁱ）在另一个坐标系中的坐标，就是说和表示同一点.用同一

个核文字(如x)表示同一个对象，用指标上加一撇表示不同的坐标系（如等），这种记法叫核

标法.