§5 黎曼几何初步
一、
黎曼空间
[黎曼空间及其度量张量] 若n维空间Rn中有一组函数gij ( xi )=gji ( xi )，使得两邻点xi，
xi＋d xi之间的距离ds由一个正定二次型
ds2
= gij ( x )dxidxj
决定，则称空间Rn为黎曼空间，记作Vn.称黎曼空间Vn中的几何学为黎曼几何.二次型 ds2称为Vn的线素.定义曲线弧长的微分为
而任一曲线xi =xi(t)
的弧长为积分
因为在坐标变换
下，ds2为一个不变量，所以
这表明gij ( x )为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间Vn的度量张量或基本张量.
[矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.
设
是一个逆变矢量，则其长度的平方为
gijaiaj
设
与
是两个逆变矢量，则其标量积为
gijaibj
这两矢量夹角的余弦为
设
gijai =aj , gijbi =bj
则
与
都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为
gijai aj=ajaj
, gijaibj
=ajbj
张量
的伴随张量为
，
式中glj满足等式
式中
为克罗内克尔符号.
[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络
，满足条件：
(i) 仿射联络是无挠率的，即
(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变.
这种称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络.
根据上述两个条件可以得出
如果记
则有
有时用下面的记号：
和
它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号.
此外，还有等式
或
还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络都成立.
二、
勒维－奇维塔的平行性
仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络
决定的.在具有度量张量gij的黎曼空间Vn中，利用黎曼联络
来定义相应的平行移动称为Vn的勒维－奇维塔平行移动.
设沿Vn中某一曲线 xi =xi(t) 给定了矢量场ai =ai(t)，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量ai(t)按规律
变化，则称矢量ai(t)沿曲线作勒维－奇维塔平行移动.
勒维－奇维塔平行移动具有性质：
1
度量张量gij的协变导数等于零，即
还有
, 
2 若两族矢量ai(t)和bi(t)都沿曲线平行移动，则
所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.
3 黎曼空间Vn中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程
所确定.不过这里的
是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量
互相平行.
三、
黎曼空间中的曲率
[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算
作用于矢量时，则有
(1)
记
它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间Vn的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得
左边称为逆变矢量的交错二阶协变导数；对协变矢量
的交错二阶协变导数是
张量的交错二阶协变导数是
这称为李奇公式.
[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间]
曲率张量的协变分量
称为第一类黎曼符号，而
称为第二类黎曼符号.
曲率张量缩并得
称为李奇张量.李奇张量再缩并得
R = gkl
Rkl
称为曲率标量.
若李奇张量满足
则称此空间为爱因斯坦空间.
[曲率张量的性质]
1 曲率张量前两个指标j和k是反对称的，即
特别
2 曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加，使得
这称为李奇恒等式.
3 第一类黎曼符号Rkjlr可按下式计算：
因此Rkjlr关于指标j , k与 l , r是反对称的；关于前一对指标与后一对指标是对称的；对前面三个指标作循环置换后相加等于零，即
Rjklr =－Rkjlr
Rjklr =－Rjkrl
Rjklr = Rlrjk
Rjklr ＋Rkljr＋Rljkr = 0
４ 李奇张量是对称的，即Rkl = Rlk.
5 空间Vn中任一点下式成立：
这称为皮安奇恒等式.它表明，按协变导数的指标(i)及曲率张量前两个指标(j , k)作循环置换所得到的和等于零.
[黎曼曲率(截面曲率)与常曲率空间] 对黎曼空间Vn内一点M的两个线性无关矢量
和
作
这称为pi，qi所确定的平面的黎曼曲率，又称为截面曲率.
如果对空间Vn(n > 2)中所有点都有
Rrijk=K(grkgij－grjgik)
则黎曼曲率K为常数，这就是舒尔(Schur)定理.
黎曼曲率为常数的空间Ｖn称为常曲率空间，这种空间的线素可化为形式
这称为黎曼形式的常曲率空间的度量.
常曲率空间是爱因斯坦空间.