§5  二次型与埃尔米特型

 

一、  二次型

 

[双线性型]  2n个实(或复)变数 的一个二次齐次多项式

                                                      1

称为双线性型,式中

                  

                  

    [二次型]  关于n个实(或复)变数的一个二次齐次多项式

                                              2

称为二次型,式中是矩阵A的对称部分,即的元素是.

表达式(2)恒等于零的充分必要条件是:A是反对称的.

当矩阵A是对称的,则称二次型是对称的. 当矩阵A是实的(是实数),则称二次型是实的. 由(2)可知,每个二次型都可化为对称的.

一个实对称二次型当对每组不全为零的实数,使得,则分别称二次型是正定的,负定的,半正定的或半负定的. 其他一切实对称二次型称为不定的(即的符号与有关)或恒等于零.

[化二次型为标准型]

1o一个线性变换

                                                  3

                       

                    

把每个二次型(2)变为关于新变数的一个二次型

                                                  4

其中               

                     

A是对称的,则也是对称的;若AT都是实的,则也是实的.

2o对每个实对称二次型,存在具实系数的线性变换(3),使得在(4)中的矩阵是对角线矩阵,所以

                                                     5

在(5)式中系数不等于零的个数r与所采用的对角化的变换无关,并且等于已知矩阵A的秩,r称为二次型的秩. 5)式中系数的正数与负数个数之差也与所采用的对角线化的变换无关(即雅可比-西尔维斯特惯性定律),它称为二次型的符号差.

3o特别,对每个实对称二次型,存在一个对应于实正交矩阵T的线性变换,可把二次型化为标准型,即

                                                      6

式中实数是已知矩阵A的特征值.

4o再施行变换,表达式(6)化为

                    

式中等于10,分别对应于特征值是正的,负的或零.

[两个二次型的联立简化]  给定两个实对称二次型,其中是正定的,我们能求出一个实变换(3),它可以把同时化为标准型. 特别是存在一个实变换(3),使

                

                 

实数是矩阵的特征值,它们是n次代数方程

                     

的根

    [正定等的判别法] 

    1o一个实对称二次型是正定,负定,半正定,半负定,不定或恒等于零的充分必要条件是:矩阵的特征值(一定是实的)分别都是正的,都是负的,都是非负的,都是非正的,符号不同或都等于零.

           2o一个实对称二次型是正定或半正定的充分必要条件是:的每个主子式

                   

都是正的或非负的.

3o一个实对称二次型为负定或半负定的充分必要条件是:分别是正定或半正定.

4o一个实矩阵A是一个半正定矩阵的充分必要条件是:. B是非奇异的,则A是正定的.

5oAB都是正定的或负定的,则AB也都是正定的或负定的. 每个正定矩阵A有唯一的决定于Q是正定的)的一对平方根Q.

 

二、  埃尔米特(H)

 

    [H]  关于n个实(或复)变数的一个二次型

                     

称为一个埃尔米特型(H型),式中A为一个n阶埃尔米特矩阵(第四章,§2,四),即.

如果一个H型对任一组不全为零的复数,使得,则分别称H型为正定的,负定的,半正定的或半负定的. 其他一切H型称为不定的(即的符号与有关)或恒等于零.

[H型为标准型]

1o一个线性变换(3)把每个H型变为关于新变数的一个新的H

                 

式中                 

                   

2o对每个H型,存在线性变换(3),使得

                                              7

在(7)式中系数不等于零的个数r与所采用的对角化的变换无关,并且等于已知矩阵A的秩,r称为H型的秩.

    3o特别,对每个H型存在一个对应于对角线酉矩阵T的线性变换,可把H型化为标准型

                                              8

式中实数组是已知矩阵A的特征值.

4o再施行变换,表达式(8)化为

                    

式中等于10,分别对应于特征值是正的,负的或零.

[两个H型的联立简化]  给定两个H,其中是正定的,存在一个变换(3),使得

                 

                 

实数是矩阵的特征值,它们是n次代数方程

                   

的根.

[正定等的判别法]

    1o一个H型是正定,负定,半正定,半负定,不定或恒等于零的充分必要条件是:矩阵A的特征值(一定是实的)分别都是正的,都是负的,都是非负的,都是非正的,符号不同或都等于零.

    2o一个埃尔米特矩阵A(和相应的H型)是正定或半正定的充分必要条件是:的每个主子式都是正的或非负的.

    3o一个埃尔米特矩阵A(和相应的H型)是负定或半负定的充分必要条件是:-A分别是正定或半正定.

    4o一个矩阵A是一个半正定的埃尔米特矩阵的充分必要条件是: