§6 方阵的若当标准形
一、 不变子空间
设L为一个实(或复)线性空间V的一个线性变换,S为V的一个子空间,若,则称S为关于L的一个不变子空间.
设是n维线性空间V的一个线性变换L的不变子空间,V可以用它们的直和:
来表示的充分必要条件是:在某基底下线性变换L对应的矩阵A可化为分块对角矩阵
式中的阶数分别等于的维数.
二、方阵的标准化
[若当块与若当标准方阵] 形为
的m阶方阵称为若当块,式中是一特征值.
一个方阵的分块矩阵在主对角线上的子阵都是若当块,而其余的子阵都是零矩阵,即
(1)
则称其为若当标准方阵或若当标准形. 注意,不同块里的这些未必两两不同.
[方阵的标准化]
1o特征值都不同的情形 若一个方阵A的特征值都不相等,则A可以化为对角矩阵,
它的主对角线上的元素就是这些特征值:
2o特征值有相等的情形 任意方阵A都可以化为与它相似的若当标准形(1),其中
是它的特征值,是特征值的重数. 如不计若当块的次序,则A的标准形是唯一的.
当且仅当一切若当块的阶都等于1时,可化为对角矩阵. 这就是1o的情形.
以上说明,假定A是一个方阵,那末总可找到一个非奇异的方阵T,使得方阵与A相似.
三、方阵标准化的方法与步骤
[λ矩阵] 假定一个n阶方阵A的元素都是变数λ的复系数多项式
则称为λ矩阵. 一个λ矩阵的不恒等于零的子式的最高阶数r称为的秩.
[不变因子与初等因子] 设r为的秩,k是正整数,为的一切k阶子式的最高公因式,则是一个的多项式,规定的最高次项系数是1;此外规定
称
为的不变因子.
把每个分解为一次因子,得到
式中指数有的可能是零,当时,称为的一个初等因子.
[初等变换·矩阵的等价] 对λ矩阵的下列三种变换的有限次组合称为的初等变换.
(i)任何两行(列)互换;
(ii)把任何一行(列)的各元素乘上同一个λ的多项式后加到另一行(列)的相应的元素上;
(iii)把任何一行(列)的元素乘上同一个不等于零的复数.
应当指出,适当地施行(ii),(iii)两种变换可以得到(i).
若可由经过有限次初等变换得到,则称与等价,记作.
λ矩阵经过初等变换后,其不变因子和初等因子都不变.
[λ矩阵的标准形] 设λ矩阵的秩为r,不变因子为,则
称右边的方阵为的标准形. 它是由唯一确定的.
等价的λ矩阵具有相同的标准形.
[特征矩阵] 方阵A的特征矩阵是一个特殊的λ矩阵. 所以
1o若的初等因子为
其中各未必两两不同,则
且有
2o如果n阶λ矩阵
其中,则
式中J为A的若当标准形.
3o若A的特征矩阵的初等因子为
则
J为A的若当标准形.
[方阵标准化的步骤] 把方阵A化为A的若当标准形的步骤如下:
(1) 利用初等变换把化为对角矩阵,分解对角线上的多项式,就得到的全部初等因子.
(2) 相应于每个初等因子,作出一个m阶的若当块
(3) 把全部若当块合并起来就得到A的若当标准形.
例1 求方阵
的若当标准形.
解
容易求出它的不变因子为1,1,,所以初等因子是,因此得到A的若当标准形
例2 求方阵
的若当标准形.
解
经过初等变换可以把它化为如下形式的对角线矩阵
所以初等因子为,,相应的若当块为
所以A的若当标准形为