五、广义积分

       . 广义积分的概念

       [无穷限广义积分]  设函数f(x)[a,b]上可积,u>a,<b,u>,当下列各式右边的极限存在时,

                             

                 

                 

这时称无穷限广义积分收敛,否则称为发散.

       [无界函数的广义积分设函数f(x)在给定区间[a,b]上只有一个瑕点x=c,即函数f(x)x=c点的邻域内无界,而在[a,c-ε][c+ε',b]上可积,εε'为任意小的正数,当εε'独立地趋于零,极限

                                           (1)

存在时,则用上式定义无界函数f(x)ab的瑕积分,记作

                 

       [柯西主值]  有时极限(1)不存在,但如果设ε'=ε0,这个极限(1)存在,就称它为瑕积分的主值,记作

             

这时称无界函数广义积分在主值意义下收敛,否则称为发散.

       [绝对收敛与条件收敛]  如果f(x)的广义积分与|f(x)|的广义积分同时收敛,那末称f(x)的广义积分是绝对收敛, f(x)称为绝对可积;如果仅前者收敛,后者不收敛,那末称f(x)的广义积分是条件收敛.