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指数与对数的运算

[指数运算法则] \[ \begin{array}{*{20}c} {a^m \cdot a^n = a^{m + n} } & {\frac{{a^m }}{{a^n }} = a^{m - n} } \\ {\left( {a^m } \right)^n = a^{mn} } & {\left( {ab} \right)^m = a^m b^m } \\ {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m = \left( {\frac{{a^m }}{{b^m }}} \right)} & {a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{{a^m }} = \left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m } \\ {a^{ - m} = \frac{1}{{a^m }}} & {a^0 = 1\left( {a \ne 0} \right)} \\ \end{array} \]

[对数的性质与运算法则] 在下面的公式中,假设a>0,同时所遇到的函数都假设是在定义域里讨论的. 零与负数没有对数. \[ \begin{array}{l} \log _a a = 1 \\ \log _a 1 = 0 \\ \log _a xy = \log _a x + \log _a y \\ \log _a \frac{x}{y} = \log _a x - \log _a y \\ \log _a x^\alpha = \alpha \log _a x \\ \end{array} \] 对数恒等式 \[ a^{\log _a y} = y \] 换底公式 \[ \log _a y = \frac{{\log _b y}}{{\log _b a}} \] \[ \log _a b = \log _b a = 1 \]

[常用对数与自然对数] 1°常用对数:以10为底的对数称为常用对数,记作 \[ \lg x = \log _{10} x \] 2°自然对数:以e=2.718281828459…为底的对数称为自然对数,记作 \[ \ln x = \log _e x \] \[ \ln x = \log _e x \] 3°常用对数与自然对数的关系: \[ \lg y = M\ln y,\ln y = \frac{1}{M}\lg y \] 式中M称为模数 \[ M = \lg e = 0.434294481803 \cdots \] \[ \frac{1}{M} = \ln 10 = 2.30258509299 \cdots \] 4°常用对数首数求法: 若真数大于1,则对数的首数为正数或零,其值比整数位数少1.若真数小于1,则对数的首数为负数,其绝对值等于真数首位有效数字前面“0”的个数(包括小数点前的那个“0”).对数的尾数由对数表查出.




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