§ 5 二次曲线
    一、圆

[圆的方程、圆心与半径]

方 程 与 图 形

圆 心 与 半 径

x2 + y2 = R2

或

(参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角)

　

圆心 G(0,0)

半径 r = R

　

(x - a)2+(y - b)2 = R2

或

(参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角)

　

圆心 G(a, b)

半径 r = R

　

x2 +y2 +2mx + 2ny + q = 0

m2 + n2 > q

r2+2r(mcost + nsint) + q = 0 (极坐标方程)

圆心 G(-m,- n)

半径

　

　

　

　

r2-2rr0cos(j- j0)+r02 = R2 (极坐标方程)

　

圆心 G(r0,j0)

半径 r = R

　

　

x2 + y2 = 2Rx

或 r = 2Rcosj

(极坐标方程)

　

圆心 G(R, 0)

半径 r = R

x2 + y2 = 2Ry

或 r = 2Rsinj

(极坐标方程)

圆心 G(0,R)

半径 r = R

[圆的切线]

圆 x2 + y2 = R2 上一点M(x0, y0)的切线方程为

x0x + y0y = R2

圆 x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0 上一点M(x0, y0)的切线方程为

x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0

[两个圆的交角、圆束与根轴]

方 程 与 图 形

公 式 与 说 明

两个圆的交角

C1 x2 +y2 +2m1x +2n1y +q1 = 0

C2 x2 +y2 +2m2x +2n2y +q2 = 0

两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角

　

　

式中q 表示两个圆C1和C2的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.

两个圆C1和C2正交条件为

2m1m2 + 2n1n2 - q1 - q2 = 0

圆束× 两个圆的根轴

C1 + l C2 = 0 (l 为参数)

或 (l+1)(x2+y2) +2(m1+l m2)x

+(n1+ln2)y + (q1 +lq2) = 0

根轴方程为 2(m1 - m2)x + 2(n1 - n2)y + (q1 - q2) = 0

对l (l ¹ -1)的一个确定值，表示一个圆.当l 取一切值(l ¹ -1)时，所表示的圆的全体，称为圆束.l = -1时，为一直线，称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直，束中任一圆的圆心在C1和C2的连心线上，且分连心线的比等于l .

(a)如果C1和C2 相交于两点M1，M2，则束中一切圆都通过两交点M1，M2，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a)).

(b)如果C1和C2切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b)).

(c)如果C1和C2不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c)).

从点P作两个圆C1和C2的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.

　

[反演] 设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M¢ 与它对应.使得满足下列两个条件：

（i）O, M, M¢ 共线，

（ii）OM× OM¢ = r2，

这种点M¢ 称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.

由于M和M¢ 的关系是对称的，所以M也是M¢ 的反演点.因r2 > 0，所以M和M¢ 都在O的同侧.M和M¢ 之间的对应称为关于定圆C的反演.

取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M¢ (x¢ ,y¢ )的对应方程为

反演具有性质：

 

 

 

 

 

1° 不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.

2° 通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.

3° 通过反演中心的一条直线变为它自己.

4° 不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.

5° 反演圆变为它自己.

6° 与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.

7° 如果两条曲线C1，C2交于一点M，则经过反演后的曲线C1¢ , C2¢ 必交于M的反演点M¢ .

8° 如果两条曲线C1, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1¢ , C2¢ 必在M的反演点M¢ 相切.

9° 两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.