3初等解析函数

[有理函数]

                   

式中P(z)和Q(z)没有公因式,R(z)在Q(z)的零点上取值∞,那末R(z)在扩充平面上连续.

n>m, R(z)在∞处有一个n-m阶零点;当n<m, ∞是R(z)m-n阶极点(§4,一,3);当n=m,有

                             

    在扩充平面上,有理函数的零点的个数(包括∞是零点在内)等于极点的个数,它等于mn中较大的一数,有理函数的阶数就用它来定义.因此,一个k阶的有理函数R(z)k个零点和k个极点,同时每个方程R(z)=aa是任一常数)有k个根(几重根就算几个根).

    时的有理函数就是常用的分式线性函数(§2,二与三).

    [幂函数及其反函数]

    1o  幂函数整数)在全平面上单值解析,它把扩充z平面映射到扩充ω平面,而且,∞分别映射到,∞,这个函数在全平面上是多叶函数.

 

                                

 

                                

    函数把从原点出发的半直线映射成从原点出发的半直线,把从原点为圆心的圆周映射成以原点为圆心的圆周,把z平面上的角状区域

                   

    映射成ω平面上除去半直线的裂缝区域,在上面的角状区域内,函数是单叶解析的,这样的区域称为函数的单叶性区域,z平面只能分成n个单叶性区域.

    2o  函数,整数)在全平面(ω平面)上是多值函数,因为

                    

所以每个不等于0和,在平面上有个点和它对应,并且这个点分布在圆的一个内接正边形的顶点上.

    函数n个分支

                 

或者说n值函数.

    [指数函数与对数函数]

    1o   指数函数

                              

是全平面上的单值解析函数,在全平面上没有零点,是周期函数,周期是,即.当z沿实轴趋于, ,当z沿实轴趋于时,.所以,当没有极限, 不能定义于扩充平面.

    ,则

                              

    函数把直线映射成射线;把线段,映射成圆周;把带状区域映射成ω平面上除去正实轴的裂缝区域;把带状区域映射成上半平面;把一切带状区域

                     

映射成ω平面上除去正实轴的裂缝区域.所以,指数函数在全平面上是多叶函数.

    2o  对数函数

                                 

的表达式是

                              

由于是无限多值的,所以对数函数是无限多值函数,并且对应同一ω值的任意两个函数值相差的整数倍.设对数函数的主值是

                               

那末

                            

    带状区域

                           

                         

都是函数的单叶性区域,它们有无穷多个,所以函数有无穷多个分支,或者说是无穷多值函数.

    [三角函数与反三角函数]

1o  正弦函数和余弦函数分别由下式定义:

                      

是全平面上的单值解析函数,并且有周期,所以是多叶函数.

    2o  正切函数和余切函数分别由下式定义:

                            
                            

在全平面上除去的点外是解析的;在全平面上除去的点外是解析的.它们都是以为周期的周期函数.

    平面三角学的一切三角公式对于复的三角函数都适用.必须注意,在复平面上不再成立,例如,.

3o  反余弦函数通过解方程

                       

得到

                      

   类似地,有

                      
                      
                      

反三角函数是无穷多值函数.它们的主值只要在各式右端把换成(对数的主值)即可.

    [双曲函数与反双曲函数]

1o  双曲函数的定义是:

                    
            

2o  双曲函数与三角函数的关系:

                    
                         

3o  反双曲函数的定义是:

                   
                   
                   
                   

反双曲函数是无穷多值函数,它们的主值只要在上面各式中将换成即可.