3、初等解析函数
[有理函数]
式中P(z)和Q(z)没有公因式,R(z)在Q(z)的零点上取值∞,那末R(z)在扩充平面上连续.
当n>m, R(z)在∞处有一个n-m阶零点;当n<m, ∞是R(z)的m-n阶极点(§4,一,3);当n=m,有
在扩充平面上,有理函数的零点的个数(包括∞是零点在内)等于极点的个数,它等于m与n中较大的一数,有理函数的阶数就用它来定义.因此,一个k阶的有理函数R(z)有k个零点和k个极点,同时每个方程R(z)=a(a是任一常数)有k个根(几重根就算几个根).
时的有理函数就是常用的分式线性函数(§2,二与三).
[幂函数及其反函数]
1o 幂函数整数)在全平面上单值解析,它把扩充z平面映射到扩充ω平面,而且
,∞分别映射到
,∞,这个函数在全平面上是多叶函数.
设
则
函数把从原点出发的半直线映射成从原点出发的半直线,把从原点为圆心的圆周映射成以原点为圆心的圆周,把z平面上的角状区域
映射成ω平面上除去半直线的裂缝区域,在上面的角状区域内,函数
是单叶解析的,这样的区域称为函数
的单叶性区域,z平面只能分成n个单叶性区域.
2o 函数,整数)在全平面(ω平面)上是多值函数,因为
![](./3、初等解析函数.files/image032.gif)
所以每个不等于0和的
,在
平面上有
个点
和它对应,并且这
个点分布在圆
的一个内接正
边形的顶点上.
函数有n个分支
或者说是n值函数.
[指数函数与对数函数]
1o 指数函数
![](./3、初等解析函数.files/image058.gif)
是全平面上的单值解析函数,在全平面上没有零点,是周期函数,周期是,即
.当z沿实轴趋于
时,
,当z沿实轴趋于
时,
.所以,当
没有极限,
不能定义于扩充平面.
设
,则
![](./3、初等解析函数.files/image078.gif)
函数把直线
映射成射线
;把线段
,
映射成圆周
;把带状区域
映射成ω平面上除去正实轴的裂缝区域;把带状区域
映射成上半平面;把一切带状区域
![](./3、初等解析函数.files/image096.gif)
映射成ω平面上除去正实轴的裂缝区域.所以,指数函数在全平面上是多叶函数.
2o 对数函数
![](./3、初等解析函数.files/image098.gif)
的表达式是
![](./3、初等解析函数.files/image100.gif)
由于是无限多值的,所以对数函数是无限多值函数,并且对应同一ω值的任意两个函数值
相差
的整数倍.设对数函数的主值是
![](./3、初等解析函数.files/image108.gif)
那末
![](./3、初等解析函数.files/image110.gif)
带状区域
![](./3、初等解析函数.files/image112.gif)
和
![](./3、初等解析函数.files/image114.gif)
都是函数的单叶性区域,它们有无穷多个,所以函数
有无穷多个分支,或者说
是无穷多值函数.
[三角函数与反三角函数]
1o 正弦函数和余弦函数分别由下式定义:
![](./3、初等解析函数.files/image122.gif)
和
是全平面上的单值解析函数,并且有周期
,所以是多叶函数.
2o 正切函数和余切函数分别由下式定义:
![](./3、初等解析函数.files/image130.gif)
![](./3、初等解析函数.files/image132.gif)
在全平面上除去
的点外是解析的;
在全平面上除去
的点外是解析的.它们都是以
为周期的周期函数.
平面三角学的一切三角公式对于复的三角函数都适用.必须注意,在复平面上与
不再成立,例如,
.
3o 反余弦函数通过解方程
![](./3、初等解析函数.files/image150.gif)
得到
![](./3、初等解析函数.files/image152.gif)
类似地,有
![](./3、初等解析函数.files/image154.gif)
![](./3、初等解析函数.files/image156.gif)
![](./3、初等解析函数.files/image158.gif)
反三角函数是无穷多值函数.它们的主值只要在各式右端把换成
(对数的主值)即可.
[双曲函数与反双曲函数]
1o 双曲函数的定义是:
2o 双曲函数与三角函数的关系:
![](./3、初等解析函数.files/image168.gif)
3o 反双曲函数的定义是:
![](./3、初等解析函数.files/image174.gif)
反双曲函数是无穷多值函数,它们的主值只要在上面各式中将换成
即可.