第十一章傅立叶级数与积分变换

§3 拉普拉斯变换

[拉普拉斯变换及其反演公式] 的拉普拉斯变换

(s是复数，s=)

拉普拉斯变换的反演公式

积分沿着任一直线Res=来取，是的增长指数，同时，积分理解为在主值意义下的.

[拉普拉斯变换的存在条件] 如果满足下面三个条件，那末它的拉普拉斯变换存在.

(i) 实变量的复值函数和在上除掉有第一类间断点（在任一有限区间上至多有有限多个）外连续；

(ii) 当t<0时，=0;

(iii) 是有限阶的，也就是说可以找到常数和A>0,使得

这里数称为的增长指数，是有界函数时，可取=0.

如果满足上面三个条件，那末L ( s )是半平面Res>上的解析函数.而反演公式在的连续点处成立.

[拉普拉斯变换的性质]

(a是常数)

(a,b是常数)

式中

称为函数和g ( t )的褶积（或卷积）.

[拉普拉斯变换的主要公式表］

原来函数	拉普拉斯变换后的函数

	（n阶导数）
	（n重积分）


f^{( n )}( t )


原来函数	拉普拉斯变换后的函数

	()^msⁿL^(m)(s)

（n重积分）


f ( t² )
t ^v-¹f(t) (Rev >)

	L (ln s)

［拉普拉斯变换表］

拉普拉斯变换表I

（已知函数查其拉普拉斯变换用此表方便）

f ( t )	L ( s )
	1
( c>0 )	e^{– c s}
1
t
t ⁿ

t^v ( Re v >)


(a> 0 )



(a> 0 )
(a> 0 )
(a> 0 )
( > 0 )
(a>0)

( 2t + t² )^v ( a>0, Re v>)



( a > 0 )
( a > 0 )
( a > 0 )
( a > 0 )
( a > 0 )
( a > 0 )
( a > 0 )
( a > 0 )
( a > 0 )
e^{a t}
te^{a t}
tⁿe^{a t}
t^ve^{a t} ( Re v > )

( a > 0 )
( a > 0 )
( a > 0 )
( a > 0 )

( a > 0 )
( a > 0 )



( a > 0 )
( a > 0 )


( Re v > -1 )
( Re v > )












_{( a > 0 )}
_{( a > 0 )}

( a > 0 )
( a > 0 )















_{ln t}	(为欧拉常数）





erf (at) ( a>0 )
( a> 0 )
( a> 0 )
( a> 0 )
( a> 0 )

_{( Re v >}_{-1 )}
_{( Re v > 0 )}
_{( Re v >}_{-2 )}
_{( Re v >}_{-1 )}
_{( Re v >}_{-1 )}
_{( Re v >}_{-1 )}

拉普拉斯变换表 II

（已知函数的拉普拉斯变换查其原来函数用此表方便）

L ( s )	f ( t )


（不等）




































	()

[二重拉普拉斯变换及其反演公式]

函数f (x ,y)的二重拉普拉斯变换为

二重拉普拉斯变换的反演公式为

其中.