2.  非齐次线性微分方程特解的求法

    给定阶非齐次线性微分方程

它的特解可用下面两种方法来求.

    [常数变易法]  设其相应的齐次线性微分方程的通解是

那末非齐次线性微分方程有一个特解

式中是待定函数,它们的导数满足方程组

      求微分方程

的通解.

      先求其相应的齐次方程的通解.

    因特征方程,有特征根.于是齐次方程的通解为

    利用常数变易法求非齐次方程的一个特解y*(x) .

c1(x),c2(x)由下列方程组确定

解方程组得

积分后得

k1,k2是任意常数)

(因为只要一个特解,可令k1=k2=0,所以原方程的通解为

[待定系数法]  对特殊类型的,可把特解的待定表达式及其相应的各阶导数代入原微分方程,然后比较同类项系数,定出的待定表达式里所含的系数,最后得出方程的特解.现在把部分情况下的特解形式列表如下:

R(x)类型

特解y*(x)的待定表达式

    表中为已知常数;是正整数,如果的两个多项式的次数不相同,则取为次数较大者;是待定常数.

    表中右栏表达式分别是(自上而下)在不是其特征根的情形下的特解的待定表达式;如果它们是特征方程的重根,那末在表中的表达式上再乘以.

      求解微分方程

      先求相应的齐次线性方程y(4)+2y"+y=0的通解.

    由特征方程4+22+1=(2+1)2=0可知特征根=i都是二重根.所以齐次方程的通解为

y(x)=c1cosx+c2sinx+c3x cosx+c4x sinx

    利用待定系数法,求非齐次线性方程的一个特解.由于R(x)=sin2x,属于表中第二类表达式(a=0,b=1,=2),同时i=2i不是特征根,所以特解应为y*(x)=Acos2x+Bsin2x.代入原方程,比较同类项系数得

所以特解是                       

原方程的通解为

式中c1,c2,c3,c4是任意常数.