四、  齐次线性微分方程的幂级数解法

    [具有幂级数形式的解]  一般变系数的齐次线性微分方程,不一定能找到用初等函数表示的解,这时可以考虑求具有幂级数形式的解.

现以二阶齐次线性微分方程为例说明解法(高阶方程同样适用).


其中可展成幂级数.要求方程在附近的解,只要先假定这个解具有幂级数形式

然后形式地算出所需的各阶导数,代入原方程变成恒等式,确定待定的系数从而得出所求的幂级数解.

    如果不能展成幂级数,比如是x的有理分式,而分母在等于零,这时可试求具广义幂级数形式

的解,其中a都是待定常数.

    [求勒让德方程的解]  方程

称为勒让德方程,它的解称为勒让德函数.

    x=0附近,方程的系数可以展成幂级数,令

代入原方程,可以定出两个线性无关解

所以勒让德方程的通解为

式中A,B是任意常数,是高斯超几何级数.

    n为整数,则中有一个为多项式,另一个仍然是无穷级数.适当选取任意常数A,B,使当x=1时,多项式的值为1,这个多项式称为勒让德多项式,记作,它属于第一类勒让德函数.另一个则与线性无关,它是无穷级数,记作 ,属于第二类勒让德函数.此时,勒让德方程的通解为

式中A,B为任意常数.

    [求贝塞耳方程的解]  方程

称为v阶贝塞耳方程,式中v为任意实数(或复数),它的解称为贝塞耳函数.

    因方程系数 ,x=0不能展成幂级数,而是x的有理分式.

代入原方程,令 x各次幂的系数等于零,得 ,先取=v,得

所以

,得贝塞耳方程的一个特解,记作

它称为v阶第一类贝塞耳函数.

    ,得另一特解

    v不为整数时,这两个特解线性无关,此时贝塞耳方程的通解为

式中A,B是任意常数.

    v=n为整数时,线性相关.此时记

它也是贝塞耳方程的一个解,而且与 线性无关.n阶第二类贝塞耳函数.于是贝塞耳方程的通解为

式中A,B是任意常数.