二、   高阶微分方程的几种可积类型及其解法

    1.  y(n) = f(x)

    将方程写成

积分后得到

重复这一过程到积分n次,就得到微分方程的通解:

    2.  F(x,y(n) )=0

    1°  若能解出y(n),则方程化成类型1求解.

    2°  若不能解出y(n),或解出后表达式太复杂,就设法求它的参数形式的解:

    设函数(t),(t)  (<t<)满足

F((t),(t))0

则原方程可写成参数形式

x=(t), y(n)=(t)

                                                       dy(n-1)= y(n)dx=(t)'(t)dt

                                               

又由                                             dy(n-2)=y(n-1)dx=1(t,c1)'(t)dt

                                         

    最后得原方程的参数形式的通解

    3.  F(y(n-1), y(n)  )=0

    1°  若从方程可解出y(n):

y(n)=f(y(n-1))

则令y(n1)=z,上式化成

这是变量可分离的方程,设解为

z=(x,c1)

那末化成类型1

y(n-1)=(x,c1)

其通解为

    2°  若不能解出y(n),但原方程可写成参数形式:

y(n-1)=(t),  y(n)=(t)

则从                                                             dy(n-1)= y(n)dx

                                                     

按类型2的方法,可得通解(参数形式)

    4.  F(y(n-2), y(n)  )=0

    设方程可解出y(n)

y(n)=f(y(n-2))

z=y(n-2),方程两边乘以2z'化成

d(z' 2)=2f(z)dz

积分后有

用分离变量法求得

z=(x,c1,c2)

那末                                  y(n-2)=(x,c1,c2)

再积分n-2次就得原方程的通解.