§4  积分方程的近似解法

    [Fr方程的线性代数方程组的逼近法]  Fr方程

                                          1

可按形式

                                2

来逼近,其中xk(k=1,2,,n)是区间[a,b]n个适当选定的求积节点,常数ωk是对应的求积系数。如果要求在每点xk(k=1,2,,n)处,(2)式两边相等,则得到关于n个未知函数y(x1),y(x2),y(xn)n个线性方程:

                       3

式中y(xi)(i=1,2,n)为未知函数y(x)分别在n个点xi(i=1,2,n)处指定的近似值。

若令

3)可改写为

         (i=1,2,n)

写成矩阵形式为

y=F+λKWy

                                                 Ay=F                                4

式中A=I-λKW,In阶单位矩阵,K=Kij),W为对角线矩阵

W=éw 1,w 2,L,wnû ,y=(y1,y2,L,yn)t,F=(F1,F2,L,Fn)t

   解第二类Fr方程

     在这个特例中,积分方程可化为具端点条件y(0)=0,y(1)=1的微分方程

其精确解为   

           用逼近法来求近似解。取n=5个等距节点:

可以算出矩阵K

如果采用梯形法求积,那么求积系数的对角线矩阵W

W= éû

由于l=1,则

                               

解线性方程组,计算到小数点后四位得到

y1=0,  y2=0.2943,  y3=0.5702,  y4=0.8104,  y5=1

与精确解y(x)在点x=0,1的值

y1=0,  y2=0.2940,  y3=0.5697,  y4=0.8100,  y5=1

进行比较,可以看到误差程度。

上述方法显然可以用来求第一类Fr方程的近似解,以及处理特征值的问题。

应当指出,当核K(x,x)不是以分析表达式给定,而由实验数据确定时,上述方法特别有用。

[待定系数逼近法]  为了求积分方程

                                   1

的解,可适当选择n个函数,用它们的线性组合来逼近

                                

其中n个系数akk=12Ln)可以这样决定:使这个线性组合尽可能近似地满足(1),即

   axb

上式变成

       axb        2

待定系数a1,a2,L,an可由n个条件决定,方法如下:

     配置法 

      axb         3

为决定这n个常数a1,a2,L,an,在区间[a,b]上适当选择ax1<x2<L<xnb(xi称为配置点),使

                             i=1,2,Ln

其矩阵形式为

                                  ya =F                                          (4)

式中y =(ψij)=(ψj(xi)),F=(F(x1),F(x2),LF(xn))τ为已知量,

                          a =a1,a2,L,ant

量。解 线性方程组(4)便得到所求的系数a1,a2,L,an

权函数法  w1(x),w2(x),L,wn(x)为区间[a,b]n个线性无关的函数(称为权函数)。为决定系数a1,a2,L,an,可以要求(3)式两边之差

与这n个权函数正交,即使得

    (i=1,2,n)

其矩阵形式为

                   Aa =b                                         (5)

式中            

                      

为已知量,

                         a =a 1,a 2,L,a nt

为未知量。解线性方程组(5)便得到所求的系数a 1,a 2,L,a n

通常选取权函数w i(x)与近似函数j i(x)恒等比较方便,一般都取为

1,x,x2,L,xn-1

[核的逼近法]  §1指出Fr方程的核可用xξ的一个多项式或一个更一般形式的可分离核来逼近,并用那里的方法来解所得的近似方程。

  积分方程

                                         (1)

中的核

可用多项式A1+A2x+A3x2或更适当的形式x(1-x)(B1+B2x+B3x2)来逼近,其中A,B为包含ξ的参数,采用权函数或配置点可决定AB

    首先取一个粗糙的逼近形式

它在端点x=0x=1是精确的,为决定系数B,可要求在[0,1]上核的积分等于它的近似表达式的积分,即

直接计算得

B=3ξ(1-ξ)

并把对应的近似核代入(1)导出近似积分方程

                                                        (2)

(2)式化为                        

                                   y(x)=x+3cx(1-x)                             (3)

为了决定c,以x(1-x)乘上式的两边,并在[0,1]上积分,得

从此算出,代入(3)得到方程(1)的近似解

更一般地,如果取近似核为

则类似地可得方程(1)的近似解