§5     

从包含着误差(意味着干扰、噪声)的数据(或信号)中提取需要的信息,这种数据处理方法称为滤波。下面仅介绍几种最小二乘(或最小方差)滤波。

一、最小二乘滤波

   [增长记忆的最小二乘滤波]

   滤波的最小二乘准则

 给定离散观测系统

              

式中

              

              

              

            

式中表示转置,是在时刻的观测值,是由形成的n维列矢量,称为观测矢量;的矩阵,其中m是常数;n维列矢量,它的分量时的误差;是状态矢量(m)。假设状态满足方程

                 

其中m阶方阵,其元素均为常数,又设可逆,记

如果当

            

则称的在最小二乘意义下的最优估值。

假设可逆,记,于是可以推出

                    

  滤波的递推公式

    上述求的最优估值的公式在电子计算机上并不实用,通常在计算机上用递推公式。可以推出

             

其中

       

m维行矢量

                 

满足

从以上公式来看,为求,实际上用到了全部历史观测值,随着n增大,用到的个数增多,故这种滤波递推公式称为增长记忆的。

[加权最小二乘滤波]  n充分大时,较早的历史数据用在估计中往往起不利的作用,通过加权处理,可以使“过老”数据的作用逐渐消失。下面举加“指数下降”权的例。

选取,引进对角线矩阵序列

          

同前,设观测系统与状态方程分别为

                   

                      

如果

         

则称在加“指数下降”权最小二乘意义下的最优估值。

可以证明

           

其中

               

    并且有计算的递推公式

              

其中

     

m维行矢量,定义同前面一样。