§ 4  尺度空间与一致空间

一、    尺度空间

    [尺度、距离与尺度空间]  假定D是一个集,j是一个把D´D变进R1的变换,如果对于所有的xDyDzD,满足条件:

    (i)  jxy³0,等号只当x=y时成立,这里jxy=j<xy>);

    (ii)  jxy=jyx);

    (iii)  jxy+jyz³jxz.

那末称jD的一个尺度,jxy)是在j这个尺度下xy的距离,D是以j为尺度的尺度空间(距离空间).

    如果条件(i)中不附加“等号只当x=y时成立”,其余(ii),(iii)相同,那末称jD的一个拟尺度.

    [尺度空间的拓扑]  假定j是集D的一个尺度,对一点aD和一个实数r,把{x|jxa<r}(当r0时它表示空集)称为以a为球心r为半径的开球.所有开球全体所繁殖的拓扑称为D的尺度拓扑.实际上,所有开球的全体是这个拓扑的一个基.以后如果没有另外声明,凡是尺度空间都假定是以这个尺度拓扑为拓扑的拓扑空间.

    假定a是尺度空间里的一点,那末所有以a为球心,把有理数作为半径的开球的全体是a的一个邻域基.所以尺度空间一定是第一可数空间.此外也不难看到,尺度空间一定是T2空间.

    [尺度化与尺度化定理]  假定一个拓扑空间X的承载点集有一个尺度,由这尺度得到的拓扑跟X原有的拓扑相等,那末称X可以尺度化.

    假定Φ是拓扑空间X里的一族点集的全体.如果X里每一点都有一个邻域至多只跟有限个属于Φ的点集有公共点,那末称Φ是局部有限的;特别如果任何两个属于Φ的点集的包都没有公共点,那末称Φ是绝缘的.

    定理  一个拓扑空间X可以尺度化的充分必要条件是:XT3空间并且X的拓扑有一个基是可数个局部有限族的和集(这里“局部有限”可以改作“绝缘”, T3也可以改作T4.

    [n维欧氏空间与直角坐标法]  假定X是一个以j为尺度的尺度空间,又假定存在一个把X变上n维实数空间Rn的一对一变换f,使对X里任何两点xy

                           

成立,这里,那末称Xn维欧几里得空间,简称n维欧氏空间,记作EnfEn的一个直角坐标法,称为点x的直角坐标,称为这直角坐标法下的原点.

    E n的直角坐标法存在但是不唯一.假定f都是E n的直角坐标法,f 'Of=<b1 ,×××,bn>,而E n里任何一点xff '下的坐标分别记作<x1 ,×××,xn><x1 ',×××,xn' >,那末由于

                             

得到

这里(ahk)是一个n´n正交矩阵.

    反过来,只要(ahk)是任何一个n´n正交矩阵,b1,×××, bn是任何n个实数,那末上面这组方程就代表了一个新的直角坐标法.所以直角坐标法是无限多的,而不同的直角坐标法间的变换就是通常所谓“转轴”、“移轴”的组合.

    此外,En的一个直角坐标法f实际上是把En变上Rn的一个拓扑变换,因此En里的一个开球在f下的象是Rn里的一族n维区间的和集,反过来,Rn里一个n维区间的象源是En里的开球的和集.

    因此在Rn里可以定一个尺度,使它成为En.这同时也就证明了n维欧氏空间的存在.

    [空间的完备化]  假定X是一个以j为尺度的尺度空间.如果<xn|nω>是X里的一个点列,对任何正数e ,总存在一个正整数N,使

                               jxn, xm<e

对比N大的一切正整数nm都成立,那末称<xn|nω>是X里的柯西列.

    一个尺度空间里的任何一个收敛点列一定是柯西列,但是一个柯西列未必收敛.例如,把所有的有理数全体S看作一维实数空间R1的子空间的话,那末S里的柯西列就可能不收敛(因为它的极限可能是无理数).

    如果一个尺度空间X里的任何柯西列都收敛,那末称X完备.

    假定XX'都是尺度空间,X'完备,又假定存在一个把X等尺度同胚地变进X'的变换f,并且X的象fX)在X'里处处稠密,那末称X'X的完备化.

    定理  任何一个尺度空间都有完备化,并且任何两个完备化等尺度同胚.

    只要把尺度空间里一个柯西列看作一个元素,适当规定两个柯西列的距离(距离等于零时,认为两个元素是相同的)不难证明所有这些元素全体就是一个完备化.

    把两个实数的差的绝对值看作这两个实数的距离,那末一维实数空间R1就是所有的有理数全体的完备化.可以用这个办法来建立无理数的概念.

    柯西列当然可以推广成柯西网.不过由于尺度空间满足第一可数公理,用柯西网概念只能得到同样的完备化.

    [有界变换族的一致收敛拓扑]  假定A是一个集,Y是一个尺度空间,把A变进Y 的所有有界变换(把A变进一个开球的变换称为有界变换)的全体记作F.F里规定距离如下:设fFgF,则它们的距离

                       Jfg= jfx),gx))

这里j表示Y里的尺度.J所产生的F的尺度拓扑称为F的一致收敛拓扑.

    注意,F的一致收敛拓扑只用Y的尺度定义,没有牵涉到A的拓扑.

    定理 有界变换族F的一致收敛拓扑跟其他拓扑比较起来其特点是:在这拓扑下,F里任何一个点网<fp|pQ>收敛的充分必要条件是:对所有的xA, <fp(x)|pQ>在A里一致收敛(也就是对任何正数e ,存在一个qQ,是对所有的xAQ里所有的p>q,

                             jfp(x)fq(x)<e

成立).

    F可以看作AY的子集.因此AY 的点点收敛拓扑在F里有诱导拓扑,不妨称为F的点点收敛拓扑,因为同样是用“点点收敛”当收敛的.比较起来,一致收敛拓扑比点点收敛拓扑细.因为在一致收敛拓扑下,对每一点fF,所有的集{g|对所有的xA, jgx),fx))<e }(e 是一个任意正数)构成一个邻域基.而在点点收敛拓扑下,对每个fF,所有的集{g|存在有限个xA使jg(x)f(x)<e }构成一个邻域基.后一个邻域基里的每一个集显然都掩盖前一个邻域基里的一个集,但是倒过来说不行.