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三次方程

方程\[ x^3 - 1 = 0 \] 的三个根为\[ x_1 = 1, \] \[ x_2 = \omega = \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}, \] \[ x_3 = \omega ^2 = \frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}…………(1) \] 其中i2=-1

方程 \[ x^3 + px + q = 0 \] 的三个根为 \[ x_1 = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }} + \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }} \] \[ x_2 = \omega \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }} + \omega ^2 \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }} \] \[ x_3 = \omega ^2 \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }} + \omega \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }} \] 式中ω,ω2同(1).这叫做卡尔丹公式.

根与系数的关系为 \[ x_1 + x_2 + x_3 = 0 \] \[ \frac{1}{{x_1 }} + \frac{1}{{x_2 }} + \frac{1}{{x_3 }} = - \frac{p}{q} \] \[ x_1 x_2 x_3 = - q \] 判别式为 \[ \Delta = \left( {\frac{q}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 \] Δ>0时,有一个实根和两个复根;
Δ=0时,有三个是实根,当p=q=0时,有一个三重零根;当 \[ \left( {\frac{q}{2}} \right)^2 = - \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 \ne 0 \] 时,三个实根中有两个相等;
Δ<0时,有三个不等的实根. 三个根的三角函数表达式(仅当p<0时)为 \[ x_1=2\sqrt[3]{r}\cos \theta \] \[ x_2 =2\sqrt[3]{r}\cos \left( {\theta + 120^\circ } \right) \] \[ x_3=2\sqrt[3]{r}\cos (\theta + 240^\circ ) \]
式中
\[ r=\sqrt {- ({\frac{p}{3}})^3 } , \] \[ \theta=\frac{1}{3}\arccos (- \frac{q}{2r} ) \]

一般三次方程 \[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \left( {a \ne 0} \right) \] 上式除以a,并设 \[ x = y - \frac{b}{3a} \] 则化为如下的形式 \[ y^3 + py + q = 0 \] 可按卡丹公式处理,解出y1y2y3,则一般三次方程的三个根为 \[ x_1 = y_1 - \frac{b}{{3a}}, \] \[ x_2 = y_2 - \frac{b}{{3a}}, \] \[ x_3 = y_3 - \frac{b}{{3a}} \] 三个根与系数的关系为 \[ x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \] \[ \frac{1}{{x_1 }} + \frac{1}{{x_2 }} + \frac{1}{{x_3 }} = - \frac{c}{a}, \] \[ x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a} \]