黄博士网: 在线数学手册计算器软件,电化学虚拟实验室,虚拟电化学工作站,电化学软件 首页 | 目录 | 世界 | 学科 | 理科 | 数学 | 物理 | 化学 | 计算机 | 医学 | 书单 | 索引 | 帮助

多项式与代数方程的一般性质

[代数基本定理]每个复数域上n次代数方程\[ f\left( x \right) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} x + a_n = 0\left( {n \ge 1} \right) \] 在复数域中至少有一个根.代数基本定理的推论:每个n次代数方程在复数域中有n个根,而且只有n个根.


[多项式的导数]多项式f(x)的导数为\[ f'\left( x \right) = na_0 x^{n - 1} + \left( {n - 1} \right)a_1 x^{n - 2} + \cdots + a_{n - 1} \] 微分学中仅考虑实变数函数的导数,而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数,但是它们的定义与计算公式仍然一样.


[单根与重根]

1°多项式的单根不是它的导数的根.

2°多项式的m重根(即有m个根相同)是它的导数的m-1重根(m>1).

3°若x1,x2,…,xk分别为f(x)的α1,α2,…,αk(α1+α2+…+αk=n)重根,则 \[ f\left( x \right) = a_0 \left( {x - x_1 } \right)^{\alpha _1 } \left( {x - x_2 } \right)^{\alpha _2 } \cdots \left( {x - x_k } \right)^{\alpha _k } \]


[洛尔定理及其推论]由微分学中的洛尔定理可知,在实系数方程f(x)=0的两个实根之间总有f'(x)=0的一个实根.从这个定理可推出下列两个推论:

1°若f(x)的一切根都是实的,则f'(x)的一切根也是实的.在f(x)的相邻两根之间有f'(x)的一个根并且是一个单根.

2°若f(x)的一切根都是实的,且其中有p个(计算重根)是正的,则f'(x)有p个或p-1个正根.


[多项式的相关]

1°若多项式f(x),φ(x)的次数都不超过n,而它们对n+1个不同的数α1,…,αn+1有相等的值,即f(αi)=φ(αi)(i=1,…,n+1),则f(x)=φ(x).

2°多项式f(x)和φ(x)的根完全相同的充分必要条件是f(x)和φ(x)只差一个不等于零的常数因子.


[整根与有理根]任意整系数方程f(x)=0,若有一个有理根 \[ \frac{p}{q} \] (为既约分数),则pαn的约数,qα0的约数.由此可推出:任意整系数方程的整根必为常数项的约数,若整系数方程的首项系数为1,则它的有理根必为整数.


[实根与复根,共轭实根与共轭复根]

1° 任意有理系数方程f(x)=0,若有一个根\[ a + \sqrt b \] (a,b是有理数,√b是无理数),则必有另一个根\[ a - \sqrt b \] 这两个根称为一对共轭实根.

2°任意实系数方程f(x)=0的复根只可能是成对的共轭复根,并且根的重数相同.从而,复根的个数是偶数.

3°任意实系数奇数次方程f(x)=0至少有一个实根.

4°任意实系数偶数次方程f(x)=0,a0an<0,则至少有两个实根(一个正根和一个负根).