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勾股定理 (毕达哥拉斯定理)

在我国,把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理。数学公式中常写作\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

简介

勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”,我国古代著名数学家商高说:“若勾三,股四,则弦五。”把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。它被记录在了《九章算术》中。 在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“(毕达哥拉斯发现了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”),法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”,他们发现勾股定理的时间都比我国晚,我国是最早发现这一几何宝藏, 也有人根据很多出土泥板记载,认为巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的。目前初二学生教材的证明方法采用赵爽弦图。勾股定理现发现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是一个基本的几何定理, 它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,是数形结合的纽带之一。

勾股数组

满足勾股定理方程\[ a^2 + b^2 = c^2 \] 的正整数组(a,b,c)。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

由于方程中含有3个未知数,故勾股数组有无数多组。勾股数组的通式: \[ \begin{array}{l} a = m^2 - n^2 \\ b = 2mn \\ c = m^2 + n^2 \\ \end{array} \] 常用勾股数组(3,4 ,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25) 。

《周髀算经》中勾股定理的公式与证明

《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪,原名《周髀》,它是我国最古老的天文学著作,主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一,故改名《周髀算经》。

首先,《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式:“若求邪至日者,以日下为句,日高为股,句股各自乘,并而开方除之,得邪至日”(《周髀算经》上卷二)

而勾股定理的证明呢,就在《周髀算经》上卷一 :


参阅
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