黄博士网: 在线数学手册计算器软件,电化学虚拟实验室,虚拟电化学工作站,电化学软件 首页 | 目录 | 世界 | 学科 | 理科 | 数学 | 物理 | 化学 | 计算机 | 医学 | 帮助 | 关于 | 索引

同余方程

一次同余方程可解条件

同余方程 \[ a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n \equiv b\left( {\bmod \ m} \right) \] 有解的充分必要条件是: \[ \left( {a_1 , \cdots ,a_n ,m} \right)|b \] 当满足此条件时,其解数(对模m的不同余者)为 \[ m^{n - 1} \left( {a_1 , \cdots ,m} \right) \]

一元一次同余方程的解法

一元一次同余方程\[ ax + b \equiv 0\left( {\bmod \ m} \right) \] 有解的充分必要条件是:\( \left( {a,m} \right)|b \),若有解则共有\( \left( {a,m} \right) \)个互不同余的解\( \left( {\bmod \ m} \right) \)解法如下:

设\( \left( {a,m} \right) = d \),\( d|b \),则原方程化为 \[ \frac{a}{d}x + \frac{b}{d} \equiv 0\left( {\bmod \frac{m}{d}} \right),\left( {\frac{a}{d},\frac{m}{d}} \right) = 1 \] 记作 \[ a'x' + b' \equiv \left( {\bmod \ m'} \right),\left( {a',m'} \right) = 1 \] 首先由辗转相除法\( x_0 ,y_0 \),使得\[ a'x_0 + m'y_0 = 1 \] 则 \[ x' = - b'x_0 \] 是同余方程的解,最后得到 \[ x = x' + m't,t = 0,1, \cdots ,d - 1 \] 为原方程的解\( \left( {\bmod \ m} \right) \) .即有d个解 \[ x',x' + \frac{m}{d},x' + \frac{{2m}}{d}, \cdots ,x' + \frac{{\left( {d - 1} \right)m}}{d} \] 对模m不同余.

二次同余式的解数

设l>0,p不能整除n,若p为奇素数,则二次同余式\[ x^2 \equiv n\left( {\bmod \ p^l } \right) \] 的解数为\( 1 + \left( {\frac{n}{p}} \right) \)

p=2时,l=1时有一解.

\(l= 2时\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {有二解,当n\equiv 1\left( {\bmod \ 4} \right)} \\ {无解,当n\equiv 3\left( {\bmod \ 4} \right)} \\ \end{array}} \right. \) .

\(l> 2时\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {有四解,当n \equiv 1\left( {\bmod \ 8} \right)} \\ {无解,当n\equiv 3,5,7\left( {\bmod \ 8} \right)} \\ \end{array}} \right. \)

对模m的次数

h为一整数,\( \left( {m,h} \right) = 1 \),满足\[ h^l \equiv 1\left( {\bmod \ m} \right) \] 的最小正整数l称为h对模m的次数,或h的次数\( \left( {\bmod \ m} \right) \) .

若\( h^n \equiv 1\left( {\bmod \ m} \right) \),则\( l|n \),这里l为h的次数\( \left( {\bmod \ m} \right) \) .

例题

  • 例题 
    参阅
    1. 数学符号
    2. 数学手册
    3. 初等数学
    4. 高等数学
    5. 公式图表
    6. 代数
    7. 几何
    8. 函数
    9. 例题
    10. 书单
    11. 数学软件 - 数学手册计算器

    
    首页 | 帮助 | 论坛 | 联系 | 关于 | 版权 | 索引 | English