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同余

同余及其性质

m为自然数,若整数ab之差a-bm的倍数,则称ab对模m同余,记做\[ a \equiv b\left( {\bmod \ m} \right) \] 否则称ab对模m不同余.

同余具有下列性质:

1°\( a \equiv a\left( {\bmod \ m} \right) \)(自反性)

2°若 \( a \equiv b\left( {\bmod \ m} \right) \),则\( b \equiv a\left( {\bmod \ m} \right) \)(对称性)

3°若\( a \equiv b,b \equiv c\left( {\bmod \ m} \right) \),则\( a \equiv c\left( {\bmod \ m} \right) \)(传递性)

4°若\( a \equiv b,a_1 \equiv b_1 \left( {\bmod \ m} \right) \),则 \[ a + a_1 \equiv b + b_1 \left( {\bmod \ m} \right) \] \[ a - a_1 \equiv b - b_1 \left( {\bmod \ m} \right) \] \[ aa_1 \equiv bb_1 \left( {\bmod \ m} \right) \]

5°若\( ac = bd,c \equiv d\left( {\bmod \ m} \right) \),\( \left( {c,m} \right) = 1 \),且\( \left( {c,m} \right) = 1 \),则\( a \equiv b\left( {\bmod \ m} \right) \).

完全剩余系与缩剩余系

设以m为模,则由同余性质1°,2°,3可将全体整数分为m个类,同类的数都同余,不同类的数不同余,称这样的类为同余类,每类中各取一数为代表,例如\[ 0,1,2, \cdots ,m - 1 \] 构成一个完全剩余系.

在与m互素的各类中取一代表\[ a_1 ,a_2 , \cdots ,a_{p\left( m \right)} \] 构成一缩剩余系(简称缩系),此处\( \phi \left( m \right) \) 为不超过m且与m互素的数的个数(称为欧拉函数).

剩余系具有下列性质:

1°若\( \left( {m,m'} \right) = 1 \),xm的一完全剩余系,x'过m'的一完全剩余系,则\( mx' + m'x \) 过的一完全剩余系.mm'的一完全剩余系.

2°若\( \left( {m,m'} \right) = 1 \),xm的一缩系,x'过m'的一缩系,则\( mx' + m'x \) 过的一完全剩余系.mm'的一完全剩余系.

3°若\( a_1 ,a_2 , \cdots ,a_{\phi \left( m \right)} \) 为模m的一缩系,且\( \left( {k,m} \right) = 1 \),则\[ ka_1 ,ka_2 , \cdots ,ka_{\phi \left( m \right)} \] 也为m的一缩系.


参阅
  1. 数学符号
  2. 数学手册
  3. 初等数学
  4. 高等数学
  5. 公式图表
  6. 代数
  7. 几何
  8. 函数
  9. 例题
  10. 书单
  11. 数学软件 - 数学手册计算器


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