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四次方程

方程 \[ ax^4 + cx^2 + e = 0 \] 中,设y=x2,则为二次方程 \[ ay^2 + cy + e = 0 \] 可解出四个根为 \[ x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt {\frac{{ - c \pm \sqrt {c^2 - 4ae} }}{{2a}}} \] 方程 \[ ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0 \] 中设\[ y = x + \frac{1}{x} \] 则化为二次方程,可解出四个根为 \[ x_{1,2,3,4} = \frac{{y \pm \sqrt {y^2 - 4} }}{2},y = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac + 8a^2 } }}{{2a}} \] 一般四次方程 \[ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \] 都可化为首项系数为1的四次方程,而方程 \[ x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \] 的四个根与下面两个方程的四个根完全相同: \[ x^2 + \left( {b + \sqrt {8y + b^2 - 4c} } \right)\frac{x}{2} + \left( {y + \frac{{by - d}}{{\sqrt {8y + b^2 - 4c} }}} \right) = 0 \] \[ x^2 + \left( {b - \sqrt {8y + b^2 - 4c} } \right)\frac{x}{2} + \left( {y - \frac{{by - d}}{{\sqrt {8y + b^2 - 4c} }}} \right) = 0 \] 式中y是三次方程 \[ 8y^3 - 4cy^2 + \left( {2bd - 8e} \right)y + e\left( {4c - b^2 } \right) - d^2 = 0 \] 的任一实根

[阿贝尔定理]五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法(即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法).这是阿贝尔定理.