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整数、整除与取整

整数部分与分数部分

a为一实数,不超过a的最大整数称为α的整数部分,记作[a].而{a}称为a的分数部分.

例如[1]=1,[2.3]=2,[-3.5]=-4等等

 

整数部分具有下列关系式:\[ \left[ \alpha \right] \le \alpha < \left[ \alpha \right] + 1 \]\[ \left[ {\frac{{\left[ {n\alpha } \right]}} {n}} \right] = \left[ \alpha \right],n为自然数 \] \[ \left[ \alpha \right] + \left[ {\alpha + \frac{1} {n}} \right] + \cdots + \left[ {\alpha + \frac{{n - 1}} {n}} \right] = \left[ {n\alpha } \right],n为自然数 \] \[ \left[ {2\alpha } \right] + \left[ {2\beta } \right] \ge \left[ \alpha \right] + \left[ {\alpha + \beta } \right] + \left[ \beta \right] \] \[ \left[ \alpha \right] - \left[ \beta \right] = \left[ {\alpha - \beta } \right]或\left[ {\alpha - \beta } \right] + 1 \]

整除性

若有一整数c,使得整数ab之间适合于\[ a = bc \] 则称b可整除a,记作b|a.这时a称为b的倍数,b称为a的因数(或约数). 若b不能整除a,则记作b|a

整除性具有下列性质(下列各式b≠0,c≠0):

1°若b|a,c|a,则c|a

2°若b|a,则bc|ac

3°若c|d,c|e,则对于任意整数m,nc|dm+ea

4°若ba的真因数(即b≠1,a),则1<|b|<|a|.