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海伦公式

海伦公式

$a,b,c$为三角形三边长,$p = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)$,则三角形面积 $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} $

证明

$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ab\sqrt {1 - \cos ^2 C} $

在△ABC中,由余弦定理可得:

$\cos C = \frac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}}$

代入上式可得

$S = \frac{1}{2}ab\sqrt {1 - \frac{{\left( {a^2 + b^2 - c^2 } \right)^2 }}{{4a^2 b^2 }}} = \frac{1}{2}ab\sqrt {\frac{{4a^2 b^2 - \left( {a^2 + b^2 - c^2 } \right)^2 }}{{4a^2 b^2 }}} $

$ = \sqrt {\frac{{4a^2 b^2 - \left( {a^2 + b^2 - c^2 } \right)^2 }}{{16}}} = \sqrt {\frac{{\left( {2ab + a^2 + b^2 - c^2 } \right)\left( {2ab - a^2 - b^2 + c^2 } \right)}}{{16}}} $

$ = \sqrt {\frac{{\left[ {\left( {a + b} \right)^2 - c^2 } \right]\left[ {c^2 - \left( {a - b} \right)^2 } \right]}}{{16}}} = \sqrt {\frac{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {c - a + b} \right)}}{{16}}} $

又$p = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)$ , 故$\frac{{a + b - c}}{2} = \frac{{2p - 2c}}{2} = p - c$ ,$\frac{{c + a - b}}{2} = \frac{{2p - 2b}}{2} = p - b$ ,$\frac{{c - a + b}}{2} = \frac{{2p - 2a}}{2} = p - a$ ,故$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} $. 


参阅
  1. 数学符号
  2. 数学手册 - 索引
  3. 高中数学 - 索引
  4. 初等数学 - 代数 - 几何 - 函数
  5. 高等数学 - 讲义 - 数学分析
  6. 公式 - 图表 - 动画
  7. 书单 - 数学 | 物理 | 化学 | 计算机 | 医学 - QQ群 614057790, 580127315 下截书
  8. 数学软件 - 数学手册计算器
  9. 例题:

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