Table of Integrals - Forms Involving `x^n+-a^n`

The integrals below involve `x^n+-a^n`

1) `int  1/(x(x^n+a^n))  dx = 1/(na^n)  ln  (x^n/(x^n+a^n))`

2) `int  x^(n-1)/(x^n+a^n)  dx = 1/n  ln  (x^n+a^n)`

3) `int  x^m/(x^n+a^n)^r  dx = int  x^(m-n)/(x^n+a^n)^(r-1)  dx-a^n  intx^(m-n)/(x^n+a^n)^r  dx`

4) `int  1/(x^m(x^n+a^n)^r )  dx = 1/a^n  int1/(x^m(x^n+a^n)^(r-1))  dx-1/a^n  int  1/(x^(m-n)(x^n+a^n)^r)  dx`

5) `int  1/(xsqrt(x^n+a^n))  dx = 1/(nsqrt(a^n))  ln  ((sqrt(x^n+a^n)-sqrt(a^n))/(sqrt(x^n+a^n)+sqrt(a^n)))`

6) `int  1/(x(x^n-a^n))  dx = 1/(na^n)  ln  ((x^n-a^n)/x^n)`

7) `int  x^(n-1)/(x^n-a^n)  dx = 1/n  ln  (x^n-a^n)`

8) `int  x^m/(x^n-a^n)^r  dx = a^n  intx^(m-n)/(x^n-a^n)^r  dx+int  x^(m-n)/(x^n-a^n)^(r-1)  dx`

9) `int  1/(x^m(x^n-a^n)^r)  dx = 1/a^nint  1/(x^(m-n)(x^n-a^n)^r)  dx-1/a^nint  1/(x^m(x^n-a^n)^(r-1))  dx`

10) `int  1/(xsqrt(x^n-a^n))  dx = 2/(nsqrt(a^n)) cos^-1sqrt(a^n/x^n`

11) `int  x^(p-1)/(x^(2m)+a^(2m))  dx = 1/(ma^(2m-p))sum_(k=1)^msin(((2k-1)ppi)/(2m)) tan^-1((x+acos[(2k-1)pi/(2m)])/(asin[(2k-1)pi/(2m]]))-1/(2ma^(2m-p)) sum_(k=1)^mcos(((2k-1)ppi)/(2m))  ln (x^2+2ax cos(((2k-1)pi)/(2m))+a^2)`

**where `0ltpleq2m`

12) `int  x^(p-1)/(x^(2m)-a^(2m))  dx = 1/(2ma^(2m-p)) sum_(k=1)^(m-1) cos((kppi)/m) ln[x^2-2ax cos((kpi)/m)+a^2]-1/(ma^(2m-p))sum_(k=1)^(m-1) sin ((kppi)/m) tan^-1((x-a cos((kpi)/m))/(a sin((kpi)/m)))+1/(2ma^(2m-p))[ln(x-a)+(-1)^pln(x+a)]`

**where `0ltpleq2m`

13) `int  x^(p-1)/(x^(2m+1)+a^(2m+1))  dx = (2(-1)^(p-1))/((2m+1)a^(2m-p+1))sum_(k=1)^msin((2kppi)/(2m+1))tan^-1((x+a cos[(2kpi)/(2m+1)])/(a sin[(2kpi)/(2m+1)]))-(-1)^(p-1)/((2m+1)a^(2m-p+1))sum_(k=1)^mcos((2kppi)/(2m+1))ln(x^2+2ax cos((2kpi)/(2m+1))+a^2)+((-1)^(p-1)ln(x+a))/((2m+1)a^(2m-p+1)`    

**where `0ltpleq2m+1`

14) `int  x^(p-1)/(x^(2m+1)-a^(2m+1))  dx = (-2)/((2m+1)a^(2m-p+1))sum_(k=1)^msin((2kppi)/(2m+1))tan^-1((x-a cos[(2kpi)/(2m+1)])/(a sin [(2kpi)/(2m+1)]))+1/((2m+1)a^(2m-p+1))sum_(k=1)^mcos((2kppi)/(2m+1))ln[x^2-2ax cos((2kpi)/(2m+1))+a^2]+ln(x-a)/((2m+1)a^(2m-p+1))`        

**where `0ltpleq2m+1`