§2 代数方程的性质
一、多项式与代数方程的一般性质
[代数基本定理] 每个复数域上n次代数方程
f(x)=a0xn+a1xn-1+L+an－1x+an=0 (n
1)
在复数域中至少有一个根.
代数基本定理的推论：每个n次代数方程在复数域中有n个根，而且只有n个根.
[多项式的导数] 多项式f(x)的导数为
(x)=na0xn－1+(n－1)a1xn－2+L+an－1
微分学中仅考虑实变数函数的导数，而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样.
[单根与重根]
1° 多项式的单根不是它的导数的根.
2° 多项式的m重根（即有m个根相同）是它的导数的m－1重根（m>1）.
3° 若x1,x2,L,xk分别为f (x)的α1,α2,L,αk(α1+α2+L+αk=n)重根，则
f (x)=a0(x－x1)
(x－x2)
L(x－xk)
[洛尔定理及其推论] 由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程f (x)=0的两个实根之间总有(x)=0的一个实根.
从这个定理可推出下列两个推论：
1° 若f(x)的一切根都是实的，则(x)的一切根也是实的.在f(x)的相邻两根之间有(x)的一个根并且是一个单根.
2° 若f(x)的一切根都是实的，且其中有p个（计算重根）是正的，则(x)有p个或
p－1个正根.
[多项式的相关]
1° 若多项式f (x),
(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数α1,L,
有相等的值，即f(αi)=(αi) (i=1,L,n+1),则f (x)=
(x).
2°
多项式f (x)和(x)的根完全相同的充分必要条件是f (x)和(x)只差一个不等于零的常数因子.
[整根与有理根] 任意整系数方程f (x)=0，若有一个有理根
（为既约分数），则p是αn的约数，q是α0的约数.
由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为1，则它的有理根必为整数.
[实根与复根，共轭实根与共轭复根]
1° 任意有理系数方程f (x)=0，若有一个根a+
(a,b是有理数，是无理数)，则必有另一个根a－.这时a+与a－称为一对共轭实根.
2° 任意实系数方程f (x)=0的复根只可能是成对的共轭复根，并且根的重数相同.从而，复根的个数是偶数.
3° 任意实系数奇数次方程f (x)=0至少有一个实根.
4° 任意实系数偶数次方程f (x)=0,a0an<0,则至少有两个实根（一个正根和一个负根）.
[根与系数的关系] 设
f (x)=xn+a1xn－1+L+an
为复数域S上的一元多项式，x1,x2,L,xn为f (x)在S中的n个根，则根与系数的关系为
x1+x2+L+xn=
=－a1
x1x2+x1x3+L+xn-1xn=
=a2
x1x2x3+x1x2x4+L+xn-2xn-1xn=
=－a3
LLLLLL
x1x2Lxn=(－1)nan
这就是说，f (x)的xn-k的系数ak等于从它的根x1,x2,L,xn中每次取k个（不同的）一切可能乘积之和,若k是偶数,则取正号，若k为奇数，则取负号.
[根的范围] 设ξ为复系数代数方程
f (x)=a0xn+a1xn-1+L+an-1x+an=0 (1)
的根.
1°
若所有系数ai
0 (i=0,1,L,n),则
,其中
为实系数代数方程
F(x)=
xn－
xn－1-L-
=0
的一个正实根.
2°
设γ1,γ2,L,γn-1为任意正数，则
τ,其中τ为下列n个数中最大的一个:
+
, 
+
, L, 
L
+
,
特别,取γi=1(i=1,2,L,n－1)时,有
max
(2)
方程(1)中作变换x=
,可求出
的上界，因而得到
(3)
更进一步，记(2)式右边为M，记(3)式右边为m，如果取ρ<M,使得
L
取
>m，使得
L
那末有
.
3°
设γ为任意正数，则
，其中
τ1=max
特别，取γ=1，有
4° 若所有系数都为正实数，则
min
5° 若方程（1）的系数满足不等式
则方程（1）至多有一个绝对值≥1的根ξ1，而且
[多项式的分解]
1° 设f (x)为实数域上的多项式，若有非常数的实系数多项式g(x)和h(x),使得
f (x)=g(x)h(x)
则称f (x)为实数域上可约（或可化），否则称f(x)为实数域上的不可约多项式.
2° 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含（共轭）复根的二次多项式.
3° 每个实系数多项式都可分解为实系数的一次因式与二次因式之积.
有理数域上的多项式的分解见第二十章，§5，2.
[余数定理与综合除法] 若c为一常数，则多项式f (x)除以x－c所得的余数等于f(c).
设 f (x)=a0xn+a1xn-1+L+an－1x+an
求f (x)除以x－c的商式与余数其计算格式如下：
c) a0 a1 a2 L an-1 an
b0c b1c L bn-2c bn-1c
b0 b1 b2 L bn-1 bn
式中b0=a0,bi=ai+bi-1c(i=1,2,L,n).于是得到
商式 q(x)=b0xn-1+b1xn-2+L+bn-1
余数 r=bn=f(c)
例 f (x)＝
除以 x－2. 列出算式
2) 1 2 －3 0 －5
2 8 10 20
1 4 5 10 15= f (2)
所以
[多项式的泰勒公式（秦九韶法）] n次多项式
f (x)=a0xn+a1xn-1+L+an-1x+an (a00)
在任意点c的泰勒展开式为
f (x)=b0(x－c)n+b1(x－c)n-1+L+bn-1(x－c)+bn
式中系数bi (0≤i≤n)按下面的方法计算.
首先在(n+2)
(n+2)方阵的对角线上列出a0,a1,L,an,d（d为符号），在第1列上列出a0(即ai,i=ai-1,i=1,2,L,n+1;an+2,n+2=d;ai,1=a0,i=1,2,L,n+2).
然后再按递推公式
ai,jc+ai,j+1=ai+1,j+1 (i=2,L,n+1; j=1,L,i－1)
自上而下，自左而右依次计算出对角线下其余各元素，那末第n+2行各元素即为所求系数，即
b0=a0, bi=an+2,i+1 (i=1,2,L,n)
例 求f (x)＝
在x=2处的泰勒展开式.
解
则
f (x)＝
二、多元多项式·对称多项式·结式
[多元多项式] 设常数c1,c2,L,ck属于一个数域S,αi,βi,L,νi(i=1,2,L,k)是正整数或零，则称形如
L+
的表达式为数域S上元素x1,x2,L,xn的n元多项式.
称为它的项，ci为它的系数，αi为项中关于x1的次数，βi为项中关于x2的次数,等等.αi+βi+L+
为项的次数.在多项式中系数不为零的任一项关于xi的最高次数称为多项式关于xi的次数，系数不为零的任一项的最高次数叫做多项式的次数.各项次数都相等的多项式称为齐次多项式.
每个m次多项式f(x1,x2,L,xn)都可唯一地表示成
f(x1,x2,L,xn)=
式中fi(x1,x2,L,xn)为i次齐次多项式.
为了方便，经常把一个多元多项式按某一个变数，例如x1的降幂排列如下：
a0(x2,L,xn)x1m+ a1(x2,L,xn)x1m-1+L+ am(x2,L,xn)
式中a0(x2,L,xn), a1(x2,L,xn),L, am(x2,L,xn)为x2,L,xn的n－1元多项式.
若f1,f2,L,fk分别为m1,m2,L,mk次的多元多项式，则乘积f1f2Lfk为m1+m2+L+mk次.
[对称多项式] 如果在一个n元多项式f(x1,x2,L,xn)中，对调任一对xi和xj后，f(x1,x2,L,xn)不变，那末称它为x1,x2,L,xn的对称多项式.
[初等对称多项式] 设
LLLLLL σn=x1x2Lxn
则称σ1,σ2,L,σn为初等对称多项式.例如，由多项式的根与系数的关系（本节，一）可知，多项式的系数除符号外都是根的初等对称多项式.
[对称多项式基本定理] 在数域S上，每个n元对称多项式f(x1,L,xn)都可唯一地表成x1,L,xn的初等对称多项式（系数在S中）的多项式.
[牛顿公式] 设
f(x)=(x－x1) (x－x2)L (x－xn)=xn－σ1xn－1+L+(－1)nσn
sk=x1k+x2k+L+xnk (k=0,1,2,L)
则下面牛顿公式成立：
k≤n时, sk－σ1sk-1+σ2sk-2+L+(－1)k-1σk-1s1+(－1)kkσk =0
k>n时， sk－σ1sk-1+σ2sk-2+L+(－1)nσnsk-n=0
[结式] 设
f(x)=a0xm+a1xm－1+L+am=a0
(m>0)
j(x)=b0xn+b1xn－1+L+bn=b0
(n>0)
则
R(f,j)= 
这个m+n阶行列式R(f,j)称为多项式f(x)和j( x)的结式，式中空白处的元素都是零.结式具有性质：
R(f,j)=(－1)mn R(j,f)
R(f,j)=
设a0,b0不全为零，则f(x),j(x)在复数域上有公共根的充分必要条件是它们的结式R(f,j)=0.
行列式R(f,j)是f(x)与j(x)的系数的一个m+n次齐次多项式，关于a0,a1,L,am是n次齐次多项式，关于b0,b1,L,bn是m次齐次多项式.
三、代数方程的根的隔离
[傅立叶-布当判别法] 设f(x)=0为实系数n次代数方程，a,b为二实数，适合a<b，f(a)≠0,f(b)≠0,f(x)的各阶导数为
f(x),(x),L,f (n)(x)
若序列 { f(a),(a),L,f (n)(a)}
的变号次数*为p，序列
{ f(b),(b),L,f (n)(b)}
*序列
的变号次数定义如下：设两个相邻数
都不为零，它们的符号相反，则称两数之间有一次变号，否则变号次数为零.如果遇到零时则应考虑该数后面第一个非零数是否变号.也就是说把序列中的一切零去掉再考虑变号次数.
的变号次数为q，则p≥q，且a与b之间的f(x)=0的实根个数（一个k重根按k个根计算）等于p－q，或者比p－q少一个正偶数.
特别，当p-q=0时，(a,b)内无实根，当p－q=1时，(a,b)内只有一个实根.
[笛卡儿符号法则] 设
f(x)=a0xn+a1xn-1+L+an=0 (a0≠0,an≠0)
为实系数n次代数方程，若系数序列
{a0,a1,L,an}
的变号次数为p，则方程f(x)=0的正根个数（一个k重根按k个根计算）等于p，或者比p少一个正偶数.
特别，当p=0时，无正根，当p=1时，有且仅有一个单正根.
上面两个定理没有解答这样的问题：一个给定的实系数方程是否有实根，有几个实根，并且在给定的区间(a,b)内有几个实根.斯图姆解决了这些问题.
[斯图姆判别法] 设f(x)为区间(a,b)内的无重根的实系数多项式，a,b为二实数，适合a<b,f(a)≠0,f(b)≠0,以f0(x)表示f(x)，以f1(x)表示f(x)的导数(x).用f1(x)除f(x)，并以f2(x)表示由这个除法所得到的余式反号后的多项式，然后用f2(x)除f1(x)，并以f3(x)表示余式反号后
的多项式，这样继续下去，最后一个记作fs(x) (等于非零常数).这样得到的函数序列
{f0(x),f1(x),f2(x),L,fs(x)} (1)
称为在区间(a,b)内以f(x), (x)为基的一个斯图姆组.
若序列
{f0(a),f1(a),f2(a),L,fs(a)}
的变号次数为p，序列
{f0(b),f1(b),f2(b),L,fs(b)}
的变号次数为q，则f(x)=0在区间(a,b)内的实根个数等于p-q.
应用斯图姆判别法可以查清实系数代数方程的根在实轴上的分布情况.特别，可以求出一组区间，使得每个区间内只含有方程的一个根.
关于代数方程f(z)=0的复根个数可参看第十章，§4，二的辐角原理.
[ Loose test method ] Assuming real coefficient polynomials
f ( z )= z n + a 1 z n - 1 + L + a n - 1 z + a n
With f 0 ( t ) = t n - a 2 t n - 2 + a 4 t n - 4 - a 6 t n - 6 + L
f 1 ( t )= a 1 t n - 1 - a 3 t n - 3 + a 5 t n - 5 - L
The Sturm group for the base is
{ f 0 ( t ), f 1 ( t ), f 2 ( t ), L , f s ( t )} (2)
The necessary and sufficient conditions for 1° f ( z )=0 to have no roots on the imaginary axis and the right half-plane are: s = n in the Sturm group ( 2 ) , and the degree of each polynomial is one lower than the previous one, the leading term The coefficients are all positive numbers .
2° If s = n in the Sturm group ( 2 ) , then the degree of each polynomial in the group is one lower than the previous one, f ( z )=0 has no roots on the imaginary axis, and one of the roots of the right half-plane The number is equal to the number of sign changes in the sequence of leading coefficients .
A sufficient and necessary condition for 3° f ( z )=0 to have no roots on the right half-plane and p roots on the imaginary axis is: s = n - p in the Sturm group ( 2 ) , and the degree of each polynomial It is one time lower than the previous one, the leading coefficients are all positive numbers, and the last p -order equation
f n - p ( z )=0 has p real roots . These real roots are the imaginary parts of the p roots of f ( z )=0 on the imaginary axis .
If you consider the number of roots of f ( z )=0 on and outside the unit circle, just do a linear transformation
z =
It turns into a discussion of the radicals of g ( )=0 on the imaginary axis and the right half-plane . This can be solved by the Luce test .
[ Hurwitz discriminant ] real coefficient polynomial
f ( z ) = z n + a 1 z n - 1 + L + a n
A necessary and sufficient condition for all roots of to lie on the left half-plane is that the coefficients a 1 >0 , and the polynomial
f 0 ( t )= t n − a 2 t n − 2 + a 4 t n − 4 + L
and
f 1 ( t )= a 1 t n - 1 - a 3 t n - 3 + a 5 t n - 5 - L
The roots of are real roots that are spaced apart from each other .
