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设m为自然数,若整数a与b之差a-b为m的倍数，则称a与b对模m同余，记做\[ a \equiv b\left( {\bmod \ m} \right) \] 否则称a与b对模m不同余．
同余具有下列性质：
1°\( a \equiv a\left( {\bmod \ m} \right) \)（自反性）
2°若 \( a \equiv b\left( {\bmod \ m} \right) \)，则\( b \equiv a\left( {\bmod \ m} \right) \)（对称性）
3°若\( a \equiv b,b \equiv c\left( {\bmod \ m} \right) \)，则\( a \equiv c\left( {\bmod \ m} \right) \)（传递性）
4°若\( a \equiv b,a_1 \equiv b_1 \left( {\bmod \ m} \right) \)，则 \[ a + a_1 \equiv b + b_1 \left( {\bmod \ m} \right) \] \[ a - a_1 \equiv b - b_1 \left( {\bmod \ m} \right) \] \[ aa_1 \equiv bb_1 \left( {\bmod \ m} \right) \]
5°若\( ac = bd,c \equiv d\left( {\bmod \ m} \right) \)，\( \left( {c,m} \right) = 1 \)，且\( \left( {c,m} \right) = 1 \)，则\( a \equiv b\left( {\bmod \ m} \right) \)．
设以m为模，则由同余性质1°，2°，3可将全体整数分为m个类，同类的数都同余，不同类的数不同余，称这样的类为同余类，每类中各取一数为代表，例如\[ 0,1,2, \cdots ,m - 1 \] 构成一个完全剩余系．
在与m互素的各类中取一代表\[ a_1 ,a_2 , \cdots ,a_{p\left( m \right)} \] 构成一缩剩余系（简称缩系），此处\( \phi \left( m \right) \) 为不超过m且与m互素的数的个数（称为欧拉函数）．
剩余系具有下列性质：
1°若\( \left( {m,m'} \right) = 1 \)，x过m的一完全剩余系，x'过m'的一完全剩余系，则\( mx' + m'x \) 过的一完全剩余系．mm'的一完全剩余系．
2°若\( \left( {m,m'} \right) = 1 \)，x过m的一缩系，x'过m'的一缩系，则\( mx' + m'x \) 过的一完全剩余系．mm'的一完全剩余系．
3°若\( a_1 ,a_2 , \cdots ,a_{\phi \left( m \right)} \) 为模m的一缩系，且\( \left( {k,m} \right) = 1 \)，则\[ ka_1 ,ka_2 , \cdots ,ka_{\phi \left( m \right)} \] 也为m的一缩系．