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高等数学 Higher Math

高等数学研究的是变量。高等数学(也称为微积分)是理、工科院校一门重要的基础学科。作为一门科学,高等数学有其固有的特点,这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。 抽象性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一,我们才能深人地揭示其本质规律,才能使之得到更广泛的应用。

  1. 微积分学 Calculus

  2. 函数 · 导数 · 微分 · 积分

    1. 基础概念
      函数 · 数列 · 级数 · 极限
      初等函数·无穷小量·收敛数列
      收敛性 · 夹挤定理
      连续 · 一致连续 · 间断点
      极限 连续
      数列的极限
      函数的极限
      函数的连续性

    2. 一元微分 Differential calculus
      导数 · 高阶导数 · 介值定理 · 中值定理 (罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 · 柯西中值定理) · 泰勒公式 · 求导法则 ( 乘法定则 · 除法定则 · 倒数定则 · 链式法则 ) · 洛必达法则 · 导数列表 · 导数的函数应用 ( 单调性 · 极值 · 驻点 · 拐点 · 凹凸性 · 曲率 )
      导数与微分
      基本函数的导数表
      微分
      微分在近似计算中的应用
      中值定理与导数的应用
      中值定理
      洛必达法则
      函数图形的特性及其判定
      分数阶微积分 fractional calculus
      `d^1.5/dx^1.5` cos(x)

    3. 积分 Integral

    4. 一元积分 Univariable Integral
      不定积分
      积分的定义 ( 黎曼积分 · 达布积分 · 勒贝格积分 ) · 积分表 · 求积分的技巧 ( 换元积分法 · 分部积分法 · 三角换元法 · 降次积分法 · 部分分式积分法 ) · 牛顿-莱布尼茨公式 · 广义积分 · 主值 · 柯西主值 · Β函数 · 伽马函数 Γ(x)

      定积分 Definite integral
      定积分表
      定积分的近似计算
      数值积分 · 牛顿-寇次公式 · 近似积分法 ( 矩形法 · 梯形法 · 辛普森积分法 )
      无穷限的广义积分的审敛法
      无界函数的广义积分的审敛法
      定积分的应用
      定积分的微元法
      几何应用
      平均值

      分数阶积分 fractional integral
      `d^-0.5/dx^-0.5` cos(x)

    5. 多元微积分 Multivariable calculus
      多元函数 · 偏导数 · 隐函数 · 全微分 · 方向导数 · 梯度 · 泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 多元函数积分 · 多重积分 · 广义多重积分 · 路径积分 · 曲面积分 · 格林公式 · 高斯公式 · 斯托克斯公式 · 散度 · 旋度

    6. 多元函数微分法及其应用
      多元函数
      闭区域上连续函数的性质
      偏导数
      全微分
      全微分在近似计算中的应用
      微分法在几何上的应用
      多元函数的极值和最大(小)值
      二元函数的泰勒公式

    7. 重积分 Multiintegral
      二重积分的概念与计算
      二重积分的计算方法
      二重积分的换元法
      二重积分的应用
      三重积分的概念及其计算法
      含参变量的积分
      曲线积分与曲面积分
      曲线积分的定义、性质和计算
      格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件
      曲面积分的定义、性质和计算
      高斯公式 通量与散度
      斯托克斯公式 环流量与旋度
      向量微分算子

    8. 级数 Series

      §1 数项级数的基本概念和性质

      §2 正项级数收敛判别法

      §3 变号级数及其收敛判别法

      §4 函数项级数的收敛与一致收敛性

      §5 函数项级数一致收敛判别法

      §6 函数项级数的运算及其条件

      §7 泰勒级数

      §8 幂级数

      §9 函数的幂级数展开

      傅立叶级数
      傅立叶级数的复数形式
      函数的傅立叶级数展开式表

  3. 线性代数 Linear algebra

  4. 行列式
    排列与逆序
    n阶行列式
    行列式的性质
    行列式按一行(列)展开
    克拉默法则
    矩阵
    矩阵及其基本运算
    特殊矩阵
    逆矩阵
    初等变换与初等矩阵
    分块矩阵
    n维向量空间
    向量及其线性运算
    向量的线性相关性
    极大线性无关组、向量组的秩
    向量空间
    向量的内积
    标准正交基、正交阵

    线性方程组
    齐次线性方程组
    非齐次线性方程组
    特征值 特征向量
    特征值、特征向量及其性质
    相似矩阵
    矩阵可对角化的条件
    实对称矩阵的对角化
    二次型
    二次型的矩阵表示,合同矩阵
    化二次型为标准型、规范形
    正定二次型,正定矩阵

  5. 解析几何 Analytic geometry

    解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。
    在平面解析几何中,除了研究直线的有关直线的性质外,主要是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的有关性质。
    在空间解析几何中,除了研究平面、直线有关性质外,主要研究柱面、锥面、旋转曲面。
    1. 平面解析几何 Plan Analytic geometry
      1. 坐标变换
        平面解析几何的三个基本公式
        平面上直线
        常用曲线的极坐标方程及参数方程
      2. 二次曲线

        椭圆
        双曲线
        抛物线
        一般二次曲线
    2. 空间解析几何 Space Analytic geometry
      向量代数
      空间直角坐标系
      向量及其线性运算
      向量的坐标表达式及其有关问题
      向量间的乘积
      平面方程的各种形式
      空间曲面与曲线

      二次曲面
      球面
      椭球面
      双曲面
      抛物面
      二次锥面与柱面
      一般二次曲面

  6. 微分几何 Differental geometry

    1. 平面曲线
      1.平面曲线的切线,法线,切距,法距,次切距,次法距,切线倾斜度
      2.两条平面曲线的夹角
      3.平面曲线曲率,曲率半径,曲率圆(密切圆),曲率中心
      4.平面曲线的等距线
      5.平面曲线的渐屈线和渐开线
      6.平面曲线族的包络线
      7. 重要平面曲线表 标准正态分布曲线 (高斯曲线) gauss(x)
    2. 空间曲线
      1.空间曲线的切线,法面,密切面,主法线,副法线,从切面,活动标架
      2.空间曲线的曲率
      3.空间曲线的挠率
      4.圆柱螺旋线
      5.圆锥螺旋线
      6.空间曲线的渐开线和渐屈线
    3. 曲面
      1.曲面上一点的切线和法线
      2.曲面上一点的主法截线,主方向,主曲率半径,脐点
      3.曲面上任意曲线的曲率半径
      4.曲面上曲线的测地曲率,测地线
      5. 螺旋面
      6.渐开螺旋面
      7.阿基米德螺旋面
      8.直纹面, 可展曲面
      9.单参数平面族的包络面--可展曲面
      10. 一般曲面

  7. 场论*黎曼几何 Vector

  8. 抽象代数*线性空间*泛函分析 Abstract algebraic - linear space - Functional Analysis
    线性空间
    线性子空间
    线性变换
    欧氏空间

  9. 复变函数 Complex function

  10. 积分变换 Integral transform
    傅立叶级数 Fourier series
    傅立叶变换 Fourier transform
    拉普拉斯变换 Laplace transform

  11. 特殊函数 Special function

  12. 微分方程 Differential equation
    微分方程的基本概念
    一阶微分方程
    一阶微分方程的可积类型
    高阶微分方程的特殊类型
    高阶线性微分方程
  13. 常微分方程 Ordinary differential equation (ODE)
    常微分方程 · 分离变数法 · 积分因子 · 欧拉方法 · 柯西-欧拉方程 · 伯努利微分方程 · 克莱罗方程 · 全微分方程 · 线性微分方程 · 差分方程 · 拉普拉斯变换
  14. 偏微分方程 Partial differential equation (PDE)
    偏微分方程 · 拉普拉斯方程
  15. 分数阶微分方程 Fractional differential equation (FDE)
    `(d^1.5y)/dx^1.5` = cos(x)

  16. 积分方程 Integral equation

  17. 概率统计与随机过程 Statistical probability and stochastic processes
  18. 概率 probability

  19. 概率论的基本概念
    随机事件和样本空间
    随机时间的概率
    条件概率
    事件的独立性
    随机变量及其分布
    随机变量
    离散型随机变量的概率分布
    随机变量的分布函数
    连续型随机变量的概率分布
    随机变量的函数分布
    多维随机变量
    二维随机变量的联合分布
    二维随机变量的边缘分布
    二维随机变量的条件分布
    二维随机变量的独立性
    两个重要的二维分布
    多维随机变量的分布
    二维随机变量的函数的分布
    随机变量的数字特征
    随机变量的数学期望
    随机变量的方差
    重要分布的数学期望与方差
    二维随机变量的协方差和相关系数
    随机变量的矩
    几个重要定论
    极限定理

    数理统计的基本概念
    总体与样本
    抽样分布
    参数估计
    参数的点估计
    参数的区间估计
    假设检验
    基本概念
    正态总体期望μ的假设检验
    正态总体方程σ平方的假设检验
    两整体总体期望差μ1-μ2的假设检验
    两正态总体方差比σ1平方/σ2平方的假设检验
    (0-1)分布参数p的假设检验
    卡方(χ^2)检验法
    标准正态分布曲线 (高斯曲线) gauss(x)

  20. 误差理论与实验数据处理 Error theory

  21. 最优化方法 Optimization

  22. 有限元法 Finite element method

  23. 初等数论 Elementary number theory

  24. 整数、整除与取整 素数 辗转相除法
    最大公因数与最小公倍数 连分数 周期连分数及其充分必要条件
    同余 一次同余方程 欧拉定理与费马定理
    孙子定理 (中国剩余定理) 二次剩余

  25. 集论*拓扑学 Set theory and Topology



参阅


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