info prev up next book cdrom email home

Weierstraß Function

\begin{figure}\begin{center}\BoxedEPSF{WeierstrassFunction.epsf}\end{center}\end{figure}

A Continuous Function which is nowhere Differentiable. It is given by

\begin{displaymath}
f(x)=\sum_{n=1}^\infty b^n\cos(a^n\pi x)
\end{displaymath}

where $n$ is an Odd Integer, $b\in(0, 1)$, and $ab>1+3\pi/2$. The above plot is for $a=10$ and $b=1/2$.

See also Blancmange Function, Continuous Function, Differentiable


References

Darboux, G. ``Mémoire sur les fonctions discontinues.'' Ann. l'École Normale, Ser. 2 4, 57-112, 1875.

Darboux, G. ``Mémoire sur les fonctions discontinues.'' Ann. l'École Normale, Ser. 2 8, 195-202, 1879.

du Bois-Reymond, P. ``Versuch einer Klassification der willkürlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Änderungen in den kleinsten Intervallen.'' J. für Math. 79, 21-37, 1875.

Faber, G. ``Einfaches Beispiel einer stetigen nirgends differentiierbaren [sic] Funktion.'' Jahresber. Deutschen Math. Verein. 16 538-540, 1907.

Hardy, G. H. ``Weierstrass's Non-Differentiable Function.'' Trans. Amer. Math. Soc. 17, 301-325, 1916.

Landsberg, G. ``Über Differentziierbarkeit stetiger Funktionen.'' Jahresber. Deutschen Math. Verein. 17, 46-51, 1908.

Lerch, M. ``Über die Nichtdifferentiirbarkeit [sic] gewisser Functionen.'' J. reine angew. Math. 13, 126-138, 1888.

Pickover, C. A. Keys to Infinity. New York: Wiley, p. 190, 1995.

Weierstraß, K. Abhandlungen aus der Functionenlehre. Berlin: J. Springer, p. 97, 1886.




© 1996-9 Eric W. Weisstein
1999-05-26