+ + + =

算术平均值与几何平均值不等式

（1）几个数的算术平均值的绝对值不超过这些数的均方根，即 \[ \left| {\frac{{a_1 + a_2 + \cdots + a_n }}{n}} \right| \le \sqrt {\frac{{a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_n ^2 }}{n}} \] 等号只当a₁=a₂=…=a_n时成立．

（2）几个正数的几何平均值不超过这些数的算术平均值，即 \[ \sqrt[n]{{a_1 a_2 \cdots a_n }} \le \frac{{a_1 + a_2 + \cdots + a_n }}{n} \] 等号只当a₁=a₂=…=a_n时成立．

（3）对几个正数的加权几何平均值有 \[ a_1 ^{p_1 } a_2 ^{p_2 } \cdots a_n ^{p_n } \le \left( {\frac{{p_1 a_1 + p_2 a_2 + \cdots + p_n a_n }}{{p_1 + p_2 + p_3 + \cdots + p_n }}} \right)^{p_1 + p_2 + p_3 + \cdots + p_n } \] 等号只当a₁=a₂=…=a_n时成立．

（4）当α<0<β< i="">  时，对正数a_i有 \[ \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {a_i ^\alpha } } \right)^{\frac{1}{\alpha }} \le \left( {a_1 a_2 \cdots a_n } \right)^{\frac{1}{n}} \le \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {a_i ^\beta } } \right)^{\frac{1}{\beta }} \] 等号只当a₁=a₂=…=a_n时成立．

柯西不等式

设a_i, b_i  (i=1,2,…,n)为任意实数，则 \[ \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i b_i } } \right)^2 \le \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i ^2 } } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i ^2 } } \right) \] 等号只当 \[ \frac{{a_1 }}{{b_1 }} = \frac{{a_2 }}{{b_2 }} = \cdots = \frac{{a_n }}{{b_n }} \] 时成立．这个不等式表明一个角（取实数值）的余弦值总是小于1的，或者说二矢量内积小于二矢量长度之积．