若(k,m)=1,则kϕ(m)≡1(mod 式中 \phi \left( m \right) 为欧拉函数.
若p为素数,则对所有整数a,有 a^p \equiv a\left( {\bmod p} \right) 也可写作: a^{p - 1} \equiv 1\left( {\bmod p} \right) 显然费马定理是欧拉定理的特例.
设 a_1 ,a_2 , \cdots a_{\phi \left( m \right)} 构成m的一缩剩余系,若 \left( {k,m} \right) = 1 ,则 ka_1 ,ka_2 , \cdots ka_{\phi \left( m \right)} 这 \phi \left( m \right) 个数都与m互素,对于其中任意两个 ka_i 和 ka_j ,这两个数的差为 k\left( {a_i - a_j } \right) ,显然这个数不能被m整除,所以 ka_i 和 ka_j 对m不同余,因此 ka_1 ,ka_2 , \cdots ka_{\phi \left( m \right)} 构成一缩剩余系.因此有 a_1 a_2 \cdots a_{\phi \left( m \right)} \equiv ka_1 ka_2 \cdots ka_{\phi \left( m \right)} \equiv k^{\phi \left( m \right)} a_1 a_2 \cdots a_{\phi \left( m \right)} \left( {\bmod m} \right) 再由同余性质5°,得到 k^{\phi \left( m \right)} \equiv 1\left( {\bmod m} \right)