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集合

外文名 aggregate
集合,简称集,是数学中一个基本概念,也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪,关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论(最原始的集合论)中的定义,即集合是“确定的一堆东西”,集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为:由一个或多个确定的元素所构成的整体。

定义

一个或多个确定元素所构成的整体

概念

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中,构成集合的这些对象则称为该集合的元素 [1-2]  [3] 
例如,全中国人的集合,它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合,而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素,则称x属于S,记为x∈S。若y不是集合S的元素,则称y不属于S,记为y∉S [2] 

基数

集合中元素的数目称为集合的基数,集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时,集合A称为有限集,反之则为无限集 [4]  。一般的,把含有有限个元素的集合叫做有限集,含无限个元素的集合叫做无限集 [4] 

表示

假设有实数x < y:
①[x,y] :方括号表示包括边界,即表示x到y之间的数以及x和y;
②(x,y):小括号是不包括边界,即表示大于x、小于y的数 [4] 

地位

集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的,经过一大批科学家半个世纪的努力,到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位,可以说,现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。 [5] 

特性

确定性

给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现 [6] 

互异性

一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画,可以使用多重集,其中的元素允许出现多次 [6] 

无序性

一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。集合上可以定义序关系,定义了序关系后,元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言,元素之间没有必然的序 [6] 

分类

空集

有一类特殊的集合,它不包含任何元素,如{x|x∈R x²+1=0} ,称之为空集,记为。空集是个特殊的集合,它有2个特点:
  1. 空集∅是任意一个非空集合的真子集。
  2. 空集是任何一个集合的子集 [4] 

子集

设S,T是两个集合,如果S的所有元素都属于T ,即
则称S是T的子集,记为
。显然,对任何集合S ,都有
[3]  其中,符号
读作包含于,表示该符号左边的集合中的元素全部是该符号右边集合的元素。如果S是T的一个子集,即
,但在T中存在一个元素x不属于S ,即
,则称S是T的一个真子集 [5] 

交并集

交集定义:由属于A且属于B的相同元素组成的集合,记作A∩B
图1 交集与并集 图1 交集与并集
(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}, 如右图所示。注意交集越交越少。若A包含B,则A∩B=B,A∪B=A [5] 
并集定:由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B},如右图所示。注意并集越并越多,这与交集的情况正相反 [5] 

补集

补集又可分为相对补集和绝对补集。
相对补集定义:由属于A而不属于B的元素组成的集合,称为B关于A的相对补集,记作A-B或A\B,即A-B={x|x∈A,且x∉B'} [5] 
绝对补集定义:A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集,记作A'或∁u(A)或~A。有U'=Φ;Φ'=U [5] 

幂集

设有集合A,由集合A所有子集组成的集合,称为集合A的幂集。对于幂集有定理如下:有限集A的幂集的基数等于2的有限集A的基数次幂 [5] 

区间

数学分析中,最常遇到的实数集的子集是区间 [5] 
设a,b(a<b)是两个相异的实数,则满足不等式a<x<b的所有实数x的集合称为以a,b为端点的开区间,记为
;满足不等式
的所有实数的集合称为以a,b为端点的闭区间,记为
;满足不等式
的所有实数x的集合称为以a,b为端点的半开半闭区间,分别记为
。除此之外,还有下述几类无限区间 [5] 

模糊集

用来表达模糊性概念的集合,又称模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某种属性的对象的全体。这种属性所表达的概念应该是清晰的,界限分明的。因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的,非此即彼。但在人们的思维中还有着许多模糊的概念,例如年轻、很大、暖和、傍晚等,这些概念所描述的对象属性不能简单地用“是”或“否”来回答,而模糊集合就是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体。
由于概念本身不是清晰的、界限分明的,因而对象对集合的隶属关系也不是明确的、非此即彼的。这一概念是美国加利福尼亚大学控制论专家L.A.扎德于1965 年首先提出的。模糊集合这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象,从而构成了模糊集合论(中国通常称为模糊性数学)的基础 [6] 

相等集合

如果两个集合S和T的元素完全相同,则称S与T两个集合相等,记为S=T 。显然有如下关系:
其中符号
称为当且仅当,表示左边的命题与右边的命题相互蕴含,即两个命题等价 [4] 

表示方法

表示集合的方法通常有四种,即列举法 [7]  、描述法 [6]  、图像法 [6]  和符号法 [6] 

列举法

列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式 [7]  。例如,光学中的三原色可以用集合{红,绿,蓝}表示;由四个字母a,b,c,d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示,如此等等。
列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举,但可以将它们的变化规律表示出来的情况。如正整数集
和整数集
可以分别表示为

描述法

描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。
设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的,则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合:S={x|P(x)}。例如,由2的平方根组成的集合B可表示为B={x|x2=2}。而有理数集
和正实数集
则可以分别表示为
[6] 

图像法

图像法,又称韦恩图法、韦氏图法,是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法。一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合,是集合的一种直观的图形表示法,如图所示 [2] 
韦恩图集合表示法。

符号法

有些集合可以用一些特殊符号表示,举例如下:
N:非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}
N*N+:正整数集合{1,2,3,…}
Z整数集合{…,-1,0,1,…}
Q有理数集合
Q+:正有理数集合
Q-:负有理数集合
R实数集合(包括有理数和无理数)
R+:正实数集合
R-:负实数集合
C复数集合
∅ :空集(不含有任何元素的集合) [6] 

运算定律

交换律:A∩B=B∩A;A∪B=B∪A
结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
分配对偶律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
对偶律:(A∪B)^C=A^C∩B^C;(A∩B)^C=A^C∪B^C
同一律:A∪∅=A;A∩U=A
求补律:A∪A'=U;A∩A'=∅
对合律:A''=A
等幂律:A∪A=A;A∩A=A
零一律:A∪U=U;A∩∅=∅
吸收律:A∪(A∩B)=A;A∩(A∪B)=A
反演律德·摩根律):(A∪B)'=A'∩B';(A∩B)'=A'∪B'。文字表述:1.集合A与集合B的交集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的并集; 2.集合A与集合B的并集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的交集。
容斥原理(特殊情况):
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C) [4] 

集合论

三级学科,   门类/类别:理学     学科/类别:数学

外文名 set theory
集合论,是数学的一个基本的分支学科,研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位,它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论或集论是研究集合(由一堆抽象物件构成的整体)的数学理论,包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中,集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础,以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。

在朴素集合论中,集合被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。

在公理化集合论中,集合和集合成员并不直接被定义,而是先规范可以描述其性质的一些公理。在此一想法之下,集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线,而不被直接定义。

简介

集合论是研究集合的结构、运算及性质的一个数学分支。现代数学这一最重要的基础理论是康托在19世纪70、80年代创立的。由平面(或空间)上一些点组成的集,称为“点集”。一个点集可以是某些孤立的点,也可以是某曲线上或某区域内的所有点。可以把各种几何图形看成是一个点集,然后研究它所包含的点在位置及数量关系方面的共同特征,这样往往能够得到比直观更为深刻的结论。有关点集的基本理论,称为点集论,而集合论讨论比点集更广泛、更抽象的一般集合。
集合论在几何、代数、分析、概率论、数理逻辑及程序语言等各个数学分支中,都有广泛的应用。集合的元素应该满足某些公理。可以建立各种集合论公理系统,例如1904年至1908年间,策梅洛(E.Zermelo,德,1871—1953)为避免罗素悖论提出的第一个集合论公理系统(ZF系统)。有关集合论基础的重要问题,至今还没有得到完满的解决。

基础概念

集合论是从一个物件o集合A之间的二元关系开始:若oA的元素,可表示为oA。由于集合也是一个物件,因此上述关系也可以用在集合和集合的关系。另外一种二个集合之间的关系,称为包含关系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素,则称集合AB子集,符号为AB。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集,但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定义,任一个集合也是本身的子集,不考虑本身的子集称为真子集。集合A为集合B的真子集当且仅当集合A为集合B的子集,且集合B不是集合A的子集。
数的算术中有许多一元及二元运算,集合论也有许多针对集合的一元及二元运算:
集合AB的并,符号为AB,是在至少在集合AB中出现的元素,集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的联集为集合{1, 2, 3, 4} 。
集合AB交集,符号为AB,是同时在集合AB中出现的元素,集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的交集为集合{2, 3} 。
集合UA的相对差集,符号为U \ A,是在集合U中,但不在集合A中的所有元素,相对差集{1,2,3} \ {2,3,4} 为{1} ,而相对差集{2,3,4} \ {1,2,3} 为{4} 。当集合A是集合U的子集时,相对差集U \ A也称为集合A在集合U中的补集。若是研究文氏图,集合U为全集时,且可以借由上下文找到全集定义时,会使用A来代替U \ A
集合AB对称差,符号为ABAB,是指只在集合AB中的其中一个出现,没有在其交集中出现的元素。例如集合{1,2,3} 和{2,3,4} 的对称差为{1,4} ,也是其并集和交集的相对差集(AB) \ (AB),或是二个相对差集的联集(A \ B) ∪ (B \ A)。
一些重要的基本集合包括空集(唯一没有元素的集合),整数集合及实数集合。

书单

  • 高中数学手册 - 集合
  • 数学手册 - 集论

    参考资料

  • 1.    刘宝宏编著.离散数学:机械工业出版社,2014.07:1-3
  • 2.    吴奕,李琼,胡福林主编.离散数学及其应用:华中科技大学出版社,2017.08:2
  • 3.    华东师范大学数学系.数学分析:高等教育出版社,2010-7
  • 4.    陈纪修,於崇华,金路 .数学分析:高等教育出版社,2004-6
  • 5.    Walter Rudin .数学分析原理:机械工业出版社,2004-01
  • 6.    辛钦.数学分析八讲:人民邮电出版社,2010
  • 7.    徐洁磐主编.离散数学简明教程:中国铁道出版社,2015.09:6-8
  • 
    参阅
    1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
    2. 手册 = 中学数学手册 + 数学手册 + 实用数学手册
    3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
    4. 高等数学 = 基础数学 ( 代数 + 几何 + 分析 ) + 应用数学
    5. 公式 - 图表 - 动画 - 立体图
    6. 书单 = 数学 + 物理 + 化学 + 计算机 + 医学 + 英语 - QQ群614057790下载书
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    8. 例题:
    
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