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初等代数

    初等代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法,更确切的说,是研究实数和复数,以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。

    初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代,当算术里积累了大量的,关于各种数量问题的解法后,为了寻求有系统的、更普遍的方法,以解决各种数量关系的问题,就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

    代数是由算术演变来的,这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科,就很不容易说清楚了。比如,如果你认为“代数学”是指解ax²+bx+c=0这类用符号表示的方程的技巧。那么,这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。

    如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练,那么,代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家刁藩都看作是代数学的鼻祖。而在中国,用文字来表达的代数问题出现的就更早了。

宋刻本《九章算术》首页    “代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用,最早是在1859年。那年,清代数学家里李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书,译本的名称就叫做《代数学》。当然,代数的内容和方法,我国古代早就产生了,比如《九章算术》中就有方程问题。

    初等代数的中心内容是解方程,因而长期以来都把代数学理解成方程的科学,数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。

    要讨论方程,首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式,然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同,大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身,因而在代数中,它们都可以进行四则运算,服从基本运算定律,而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算,以区别于只包含四种运算的算术运算。

    在初等代数的产生和发展的过程中,通过解方程的研究,也促进了数的概念的进一步发展,将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围,使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容,就是数的概念的扩充。

    有了有理数,初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是,有些方程在有理数范围内仍然没有解。于是,数的概念在一次扩充到了实数,进而又进一步扩充到了复数。

    那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解,还必须把复数再进行扩展呢?数学家们说:不用了。这就是代数里的一个著名的定理—代数基本定理。这个定理简单地说就是n次方程有n个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述,后来另一个数学家、德国的高斯在1799年给出了严格的证明。

    把上面分析过的内容综合起来,组成初等代数的基本内容就是:

    三种数 —— 有理数、无理数、复数

    三种式 —— 整式、分式、根式

    中心内容是三种方程 —— 整式方程、分式方程、根式方程和方程组。

    初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容,但又不完全相同。比如,严格的说,数的概念、排列和组合应归入算术的内容;函数是分析数学的内容;不等式的解法有点像解方程的方法,但不等式作为一种估算数值的方法,本质上是属于分析数学的范围;坐标法是研究解析几何的……。这些都只是历史上形成的一种编排方法。

    初等代数是算术的继续和推广,初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。

    这十条规则是:

    五条基本运算律:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律;

    两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数,等式不变;等式两边同时乘以一个非零的数,等式不变;

    三条指数律:同底数幂相乘,底数不变指数相加;指数的乘方等于底数不变指数想乘;积的乘方等于乘方的积。

    初等代数学进一步的向两个方面发展,一方面是研究未知数更多的一次方程组;另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候,代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了。




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