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数学分析

数学分析（英语：mathematical analysis）区别于其他非数学类学生的高等数学内容，是分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学、无穷级数和解析函数等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数、测度和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。

科目门类

二级学科, 专业名称：数学分析, 门类/类别：理学学科/类别：数学

内容

2级目录
数学分析研究的内容包括实数、复数、实函数及复变函数。数学分析是由微积分演进而来，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法，且初等微积分中也包括许多数学分析的基础概念及技巧，可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其几何有关，不过只要任一数学空间有定义邻域（拓扑空间）或是有针对两物件距离的定义（度量空间），就可以用数学分析的方式进行分析。

三级学科

▪ 3410:微分学 ▪ 3420:积分学 ▪ 3430:级数论 ▪ 3499:数学分析其他学科

分支

实分析: 是数学分析中，专门处理实数及实值函数的一个分支。这包括对极限、微分、积分、幂级数和测度的研究。
复分析: 是对从复平面到复平面的复数可微函数的研究，和复数的解析函数（或亚纯函数）有密切的关系。可以应用在许多不同的数学领域中，包括代数几何、数论、应用数学等，也广为应用在物理领域中，例如流体力学、热力学、机械工程、电机工程及量子场论。
泛函分析: 探讨函数空间及一些和向量空间相关的结构（例如内积、范数及拓扑空间）等，以及在作用在这些空间中的线性算子，也会介绍例如巴拿赫空间以及希尔伯特空间的概念。
傅立叶分析: 研究如何将一个函数或者信号表达为基本波形的叠加，并扩展成傅立叶级数和傅立叶变换的概念。
微分方程: 是未知数为一变数或多变数的函数，且方程和函数其导数或高阶导数有关的方程。微分方程在工程、物理、经济、生物学中都是重要的一部分。
数值分析: 是研究数学分析中相关问题（和离散数学不同）中有关数值近似（和符号运算（英语：symbolic computation ）不同）算法的研究。许多问题的解析解是很难求得的，数值分析不在意解析解，比较著重在可接受的误差范围内找到近似解。

重要概念

度量空间

数学中的度量空间是一個集合，而集合中兩個元素的距離（叫做度量）有清楚的定义。

大部份的数学分析都是針對特定的度量空间，最常見的是[[数線]]、[[複数平面]]、[[欧几里得空间]]、其他[[向量空间]]及[[整数]]。数学中沒有度量的分包括有[[量測理論]]（描述大小而不是距離）及[[泛函分析]]（研究不需要距離概念的[[拓撲向量空间]]）

度量空间是一個[[有序對]]$(M,d)$，其中$M$是一集合，而$d$為$M$中的[[度量]]〈也是函数〉 :$d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}$

使得針對任何的$x, y, z \in M$，以下的敘述都成立：

$d(x,y) \ge 0$    （非負性）
$d(x,y) = 0\,$ [[若且唯若]] $x = y\,$    （{{link-en|不可區別的等同原則|identity of indiscernibles}}）
$d(x,y) = d(y,x)\,$    （對稱性）和
$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$    （[[三角不等式]]）

数列

数列是一個有序的列表，数列像集合一樣都是由元素組成，但和集合不同，数列有順序的概念，而完全相同的元素可以在数列中出現一至多次。更準確的說法，数列可以用[[定义域]]為[[全序關係]][[可数集]] （例如[[自然数]]）的函数來定义。

极限

数列最重要的性質是[[收斂]]，若簡單的做非正式的定义，一数列若存在极限，表示此数列收斂。若繼續下非正式的定义，一個無窮数列''a''_''n''，若在n非常大時接近一数值''x''，則稱此数列有极限，而其极限為''x''，因此极限也可以視為是数列趨向的数值。因此針對数列''a''_''n''，當''n'' → ∞時，''a''_''n''和''x''之间的距離會趨近於0：
$\lim_{n\to\infty} a_n = x.$