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数学分析

数学分析（英语：mathematical analysis）区别于其他非数学类学生的高等数学内容，是分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学、无穷级数和解析函数等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数、测度和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。

科目门类

二级学科, 专业名称：数学分析, 门类/类别：理学学科/类别：数学

内容

2级目录
数学分析研究的内容包括实数、复数、实函数及复变函数。数学分析是由微积分演进而来，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法，且初等微积分中也包括许多数学分析的基础概念及技巧，可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其几何有关，不过只要任一数学空间有定义邻域（拓扑空间）或是有针对两物件距离的定义（度量空间），就可以用数学分析的方式进行分析。

三级学科

▪ 3410:微分学 ▪ 3420:积分学 ▪ 3430:级数论 ▪ 3499:数学分析其他学科

分支

实分析: 是数学分析中，专门处理实数及实值函数的一个分支。这包括对极限、微分、积分、幂级数和测度的研究。
复分析: 是对从复平面到复平面的复数可微函数的研究，和复数的解析函数（或亚纯函数）有密切的关系。可以应用在许多不同的数学领域中，包括代数几何、数论、应用数学等，也广为应用在物理领域中，例如流体力学、热力学、机械工程、电机工程及量子场论。
泛函分析: 探讨函数空间及一些和向量空间相关的结构（例如内积、范数及拓扑空间）等，以及在作用在这些空间中的线性算子，也会介绍例如巴拿赫空间以及希尔伯特空间的概念。
傅立叶分析: 研究如何将一个函数或者信号表达为基本波形的叠加，并扩展成傅立叶级数和傅立叶变换的概念。
微分方程: 是未知数为一变数或多变数的函数，且方程和函数其导数或高阶导数有关的方程。微分方程在工程、物理、经济、生物学中都是重要的一部分。
数值分析: 是研究数学分析中相关问题（和离散数学不同）中有关数值近似（和符号运算（英语：symbolic computation ）不同）算法的研究。许多问题的解析解是很难求得的，数值分析不在意解析解，比较著重在可接受的误差范围内找到近似解。

重要概念

度量空间

数学中的度量空间是一個集合，而集合中兩個元素的距離（叫做度量）有清楚的定义。

大部份的数学分析都是針對特定的度量空间，最常見的是[[数線]]、[[複数平面]]、[[欧几里得空间]]、其他[[向量空间]]及[[整数]]。数学中沒有度量的分包括有[[量測理論]]（描述大小而不是距離）及[[泛函分析]]（研究不需要距離概念的[[拓撲向量空间]]）

度量空间是一個[[有序對]] $(M,d)$ ，其中 $M$ 是一集合，而 $d$ 為 $M$ 中的[[度量]]〈也是函数〉 : $d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}$

使得針對任何的 $x, y, z \in M$ ，以下的敘述都成立：

$d(x,y) \ge 0$    （非負性）
$d(x,y) = 0\,$ [[若且唯若]] $x = y\,$    （{{link-en|不可區別的等同原則|identity of indiscernibles}}）
$d(x,y) = d(y,x)\,$    （對稱性）和
$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$    （[[三角不等式]]）

数列

数列是一個有序的列表，数列像集合一樣都是由元素組成，但和集合不同，数列有順序的概念，而完全相同的元素可以在数列中出現一至多次。更準確的說法，数列可以用[[定义域]]為[[全序關係]][[可数集]] （例如[[自然数]]）的函数來定义。

极限

数列最重要的性質是[[收斂]]，若簡單的做非正式的定义，一数列若存在极限，表示此数列收斂。若繼續下非正式的定义，一個無窮数列''a''_''n''，若在n非常大時接近一数值''x''，則稱此数列有极限，而其极限為''x''，因此极限也可以視為是数列趨向的数值。因此針對数列''a''_''n''，當''n'' → ∞時，''a''_''n''和''x''之间的距離會趨近於0：

$\lim_{n\to\infty} a_n = x.$

函数

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检测 - 例题 :

$(d^0.5y)/dx^0.5 = sin(x-1)sin(y-1)$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 -cosh(y)-sinh(y)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-int y(x) (dx)^(0.8)-y-exp(x)=0$ == ? $int y(x) (dx)^0.5 -y-exp(x)$ =0 == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)x=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)y=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=cos(x)/xy$ == ? $y(dy^0.5)/dx^0.5-sqrt(x)-1=0$ == ? $(d^1.2y)/(dx^1.2)-2(d^0.6y)/dx^0.6+y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=cos(y)exp(x)x$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2(d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)sqrt(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-3 (d^0.8y)/dx^0.8+2y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5$ +log(y-1)-exp(x)-x=0 == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)sin(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 = ysin(x)/x$ == ? $y^((0.5))(x) -4 exp(x)y-exp(x)=0$ == ? $(dy^0.5)/dx^0.5 = 1/(x-y)$ == ? $dy/dx-(d^0.5y)/dx^0.5$ - y - exp(x)=0 == ? $(dy)/dx -exp(y-1)-x-x^2=0$ == ? $(d^1.2y)/(dx^1.2)-3dy^0.6/dx^0.6+2y-exp(x)=0$ == ? $dy/dx-(d^0.5y)/dx^0.5-y-1$ =0 == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-cos(y)sin(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(4x)=0$ == ? $dy/dx-exp(y-1)-exp(x)=0$ == ? $(dy)/dx - 2(d^0.5y)/dx^0.5-y-exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 -e^(4x)-y$ =0 == ? $y^((0.5))(x) - exp(x)y-exp(x)=0$ == ? $y^((0.5))(x) - exp(x)y-4exp(x)=0$ == ? $(dy)/dx -3(d^0.5y)/dx^0.5 +2y-exp(x)=0$ == ? $y(d^0.5y)/dx^0.5-sqrt(x)-1=0$ == ? $y^((1))(x)-exp(y-1)-x=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-2y-exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(4x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 - log(y-1) - exp(x) + x=0$ == ? $(dy)/dx +asin(y-1) - cos(x)-x=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-3(d^0.8y)/dx^0.8+2y-exp(x)=0$ == ? $(dy)/(dx) -sqrt(y-1)-x-1 =0$ == ? $(dy)/(dx) -exp(y-1)-exp(x) = 0$ == ? $(dy)/dx$ +asinh(y-1)-cosh(x)-x =0 == ? $((d^(1/2)y)/dx^(1/2))^2 -3y (dy^0.5)/dx^0.5 + 2y^2 = 0$ == ? $(dy^0.5)/dx^0.5 = cos(x)cos(y-1)$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 +log(y-1)-exp(x)-x=0$ == ? $(dy^0.5)/dx^0.5 = sin(x-1)exp(y-1)$ == ? $y(d^2y)/dx^2-(dy/dx)^2+1=0$ == ? $y^((1))(x)-exp(y-1)-log(x)=0$ == ? $(d^2y)/dx^2 exp(x)- exp(y-1)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2 (d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2 (d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0$ == ? $(dy)/dx -3 (d^0.5y)/dx^0.5+2y-exp(x)=0$ == ? $y^((0.5))(x) - xy-x=0$ == ? $y(dy^3)/dx^3-x^3-3x^2-3x-1=0$ == ? $y^((1.8))(x)-2y^((0.9))(x) +y-1=0$ == ? $y^((0.5))(x)=1/(xy-1)$ == ? $y^((2))(x)y^2-x^2-2x-1=0$ == ? $((d^0.5y)/dx^0.5)^2 -5(d^0.5y)/dx^0.5 +6=0$ == ? $y^((0.5))(x) -2 exp(x)y-4exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0$ == ? $y^(0.5)(x)=2yexp(x)$ == ? $y^((0.5))(x)-exp(x)y^2=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2(d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0$ == ? $y^((1))(x)-y^2-xy=0$ == ? $y^((1))(x)-y^((0.5))(x) -y-1=0$ == ? $y^((2))(x) -y^2-x^2=0$ == ? $y^((2))(x) -y^2-x^2-2xy=0$ == ? $y^((0.5))(x) -int y(x) (dx)^0.5-y-exp(x)=0$ == ? $d^0.5/dx^0.5 y -2cos(y)exp(x)=0$ == ? $d^0.5/dx^0.5 y -4sin(y)exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=sin(x^2)y$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-sin(x)sin(y)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-sinh(x)sinh(y)=0$ == ? $y^((1))(x)=exp(x-y)-x$ == ? $x(d^0.5y)/dx^0.5-y-2x=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=sinh(x-1)sinh(y-1)$ == ? $y^((0.5))(x)-exp(-x)y^2=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=y/xsin(x)$ == ? $(dy)/dx-sin(x-y)-1=0$ == ? $(d^2.5y)/dx^2.5=y(d^0.5y)/dx^0.5$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=y(dy)/dx$ == ? $(d^(2-i)y)/dx^(2-i)- y+x=0$ == ? $(d^2y)/dx^2=y^3x^2$ == ? $y(d^2y)/dx^2-x^2-3x-1=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-2x^2-3x-1=0$ == ? $(y-x-1)(d^2y)/dx^2-3x-1=0$ == ? $y^2(d^2y)/dx^2-x^2-4x-4=0$ == ? $(y-x-1)(d^2y)/dx^2-x^2-4x-4=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-2x^2-2x-1=0$ == ? $y(d^3y)/dx^3-6x^3-3x^2-3x-1=0$ == ? $y^((0))(x)y^((1))(x)y^((2))(x)=x^2$ == ? $y^((3))(x)y^((2))(x)=y^((1/2))(x)$ == ? $y^((3))(x)=exp(x)y^((1))(x)y^((1/2))(x)$ == ? $y^((1/2))(x)y^((3))(x)=exp(x)$ == ? $y^((1/2))(x)y^((2))(x)=exp(x)$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-2xy-1=0$ == ? $y^2(d^0.5y)/dx^0.5-x^2-4x-4=0$ == ? $exp(y-1)(d^0.5y)/dx^0.5-x=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-(x-2)(2x-4)=0$ == ? $y(d^3y)/dx^3-6x^3-4x^2-4x-1=0$ == ? $exp(y-1)(d^2y)/dx^2-exp(x)=0$ == ? $y^2(d^2y)/dx^2-x^2-1=0$ == ? $1/y^2(d^2y)/dx^2-x^2-1=0$ == ? $(y-x-1)(d^3y)/dx^3-(x-2)(2x-4)(3x-1)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-2x^2y^2-8x^2=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-2xy^2-8x=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-y^2-2y-2=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-log(y-1)exp(x)=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-(dy/dx)^2-1=0$ == ? $(d^2y)/dx^2-asin(y-1)-sin(x)-x=0$ == ? $dy/dx(x--y)-x--y-1 = 0$ == ?

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