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数学分析

数学分析(英语:mathematical analysis)区别于其他非数学类学生的高等数学内容,是分析学中最古老、最基本的分支,一般指以微积分学、无穷级数和解析函数等的 一般理论为主要内容,并包括它们的理论基础(实数、函数、测度和极限的基本理论)的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。

科目门类

二级学科, 专业名称:数学分析, 门类/类别:理学     学科/类别:数学

内容

2级目录
数学分析研究的内容包括实数、复数、实函数复变函数。数学分析是由微积分演进而来,在微积分发展至现代阶段中,从应用中的方法总结升华 为一类综合性分析方法,且初等微积分中也包括许多数学分析的基础概念及技巧,可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其几何有关,不过只要任一数学空间有定义邻域(拓扑空间)或是有针对两物件距离的定义(度量空间), 就可以用数学分析的方式进行分析。

三级学科

▪ 3410:微分学 ▪ 3420:积分学 ▪ 3430:级数论 ▪ 3499:数学分析其他学科

分支

重要概念

度量空间

数学中的度量空间是一個集合,而集合中兩個元素的距離(叫做度量)有清楚的定义。

大部份的数学分析都是針對特定的度量空间,最常見的是[[数線]]、[[複数平面]]、[[欧几里得空间]]、其他[[向量空间]]及[[整数]]。数学中沒有度量的分包括有[[量測理論]](描述大小而不是距離)及[[泛函分析]](研究不需要距離概念的[[拓撲向量空间]])

度量空间是一個[[有序對]](M,d),其中M是一集合,而dM中的[[度量]]〈也是函数〉 :d:M×MR

使得針對任何的x,y,zM,以下的敘述都成立:

d(x,y)0    (非負性)
d(x,y)=0 [[若且唯若]] x=y    ({{link-en|不可區別的等同原則|identity of indiscernibles}})
d(x,y)=d(y,x)    (對稱性)和
d(x,z)d(x,y)+d(y,z)    ([[三角不等式]])

数列

数列是一個有序的列表,数列像集合一樣都是由元素組成,但和集合不同,数列有順序的概念,而完全相同的元素可以在数列中出現一至多次。更準確的說法,数列可以用[[定义域]]為[[全序關係]][[可数集]] (例如[[自然数]])的函数來定义。

极限

数列最重要的性質是[[收斂]],若簡單的做非正式的定义,一数列若存在极限,表示此数列收斂。若繼續下非正式的定义,一個無窮数列''a''''n'',若在n非常大時接近一数值''x'',則稱此数列有极限,而其极限為''x'',因此极限也可以視為是数列 趨向的数值。因此針對数列''a''''n'',當''n'' → ∞時,''a''''n''和''x''之间的距離會趨近於0:
lim

函数

书单

  • 数学分析讲义
  • 数学分析(华东师范大学)- 1级目录
  • 数学分析(陈纪修)- 2级目录 

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    (d^0.5y)/dx^0.5 = sin(x-1)*sin(y-1) == ? (d^0.5y)/dx^0.5 -cosh(y)-sinh(y)=0 == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-int y(x) (dx)^(0.8)-y-exp(x)=0 == ? int y(x) (dx)^0.5 -y-exp(x)=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)*x=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)*y=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5=cos(x)/x*y == ? y*(dy^0.5)/dx^0.5-sqrt(x)-1=0 == ? (d^1.2y)/(dx^1.2)-2(d^0.6y)/dx^0.6+y-exp(x)=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5=cos(y)*exp(x)*x == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-2(d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)*sqrt(x)=0 == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-3 (d^0.8y)/dx^0.8+2y-exp(x)=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5 +log(y-1)-exp(x)-x=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)*sin(x)=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5 = y*sin(x)/x == ? y^((0.5))(x) -4 exp(x)*y-exp(x)=0 == ? (dy^0.5)/dx^0.5 = 1/(x-y) == ? dy/dx-(d^0.5y)/dx^0.5 - y - exp(x)=0 == ? (dy)/dx -exp(y-1)-x-x^2=0 == ? (d^1.2y)/(dx^1.2)-3dy^0.6/dx^0.6+2y-exp(x)=0 == ? dy/dx-(d^0.5y)/dx^0.5-y-1=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5-cos(y)*sin(x)=0 == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(4x)=0 == ? dy/dx-exp(y-1)-exp(x)=0 == ? (dy)/dx - 2(d^0.5y)/dx^0.5-y-exp(x)=0 == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5 -e^(4x)-y=0 == ? y^((0.5))(x) - exp(x)*y-exp(x)=0 == ? y^((0.5))(x) - exp(x)*y-4exp(x)=0 == ? (dy)/dx -3(d^0.5y)/dx^0.5 +2y-exp(x)=0 == ? y*(d^0.5y)/dx^0.5-sqrt(x)-1=0 == ? y^((1))(x)-exp(y-1)-x=0 == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-2y-exp(x)=0 == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(4x)=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5 - log(y-1) - exp(x) + x=0 == ? (dy)/dx +asin(y-1) - cos(x)-x=0 == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-3(d^0.8y)/dx^0.8+2y-exp(x)=0 == ? (dy)/(dx) -sqrt(y-1)-x-1 =0 == ? (dy)/(dx) -exp(y-1)-exp(x) = 0 == ? (dy)/dx +asinh(y-1)-cosh(x)-x =0 == ? ((d^(1/2)y)/dx^(1/2))^2 -3y* (dy^0.5)/dx^0.5 + 2y^2 = 0 == ? (dy^0.5)/dx^0.5 = cos(x)*cos(y-1) == ? (d^0.5y)/dx^0.5 +log(y-1)-exp(x)-x=0 == ? (dy^0.5)/dx^0.5 = sin(x-1)*exp(y-1) == ? y*(d^2y)/dx^2-(dy/dx)^2+1=0 == ? y^((1))(x)-exp(y-1)-log(x)=0 == ? (d^2y)/dx^2 *exp(x)- exp(y-1)=0 == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-2 (d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0 == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-2 (d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0 == ? (dy)/dx -3 (d^0.5y)/dx^0.5+2y-exp(x)=0 == ? y^((0.5))(x) - x*y-x=0 == ? y*(dy^3)/dx^3-x^3-3x^2-3x-1=0 == ? y^((1.8))(x)-2y^((0.9))(x) +y-1=0 == ? y^((0.5))(x)=1/(x*y-1) == ? y^((2))(x)*y^2-x^2-2x-1=0 == ? ((d^0.5y)/dx^0.5)^2 -5(d^0.5y)/dx^0.5 +6=0 == ? y^((0.5))(x) -2 exp(x)*y-4exp(x)=0 == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0 == ? y^(0.5)(x)=2y*exp(x) == ? y^((0.5))(x)-exp(x)*y^2=0 == ? (d^1.6y)/(dx^1.6)-2(d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0 == ? y^((1))(x)-y^2-x*y=0 == ? y^((1))(x)-y^((0.5))(x) -y-1=0 == ? y^((2))(x) -y^2-x^2=0 == ? y^((2))(x) -y^2-x^2-2x*y=0 == ? y^((0.5))(x) -int y(x) (dx)^0.5-y-exp(x)=0 == ? d^0.5/dx^0.5 y -2cos(y)*exp(x)=0 == ? d^0.5/dx^0.5 y -4sin(y)*exp(x)=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5=sin(x^2)*y == ? (d^0.5y)/dx^0.5-sin(x)*sin(y)=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5-sinh(x)*sinh(y)=0 == ? y^((1))(x)=exp(x-y)-x == ? x*(d^0.5y)/dx^0.5-y-2x=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5=sinh(x-1)*sinh(y-1) == ? y^((0.5))(x)-exp(-x)*y^2=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5=y/x*sin(x) == ? (dy)/dx-sin(x-y)-1=0 == ? (d^2.5y)/dx^2.5=y*(d^0.5y)/dx^0.5 == ? (d^0.5y)/dx^0.5=y*(dy)/dx == ? (d^(2-i)y)/dx^(2-i)- y+x=0 == ? (d^2y)/dx^2=y^3*x^2 == ? y*(d^2y)/dx^2-x^2-3x-1=0 == ? y*(d^2y)/dx^2-2x^2-3x-1=0 == ? (y-x-1)*(d^2y)/dx^2-3x-1=0 == ? y^2*(d^2y)/dx^2-x^2-4x-4=0 == ? (y-x-1)*(d^2y)/dx^2-x^2-4x-4=0 == ? y*(d^2y)/dx^2-2x^2-2x-1=0 == ? y*(d^3y)/dx^3-6x^3-3x^2-3x-1=0 == ? y^((0))(x)*y^((1))(x)*y^((2))(x)=x^2 == ? y^((3))(x)*y^((2))(x)=y^((1/2))(x) == ? y^((3))(x)=exp(x)*y^((1))(x)*y^((1/2))(x) == ? y^((1/2))(x)*y^((3))(x)=exp(x) == ? y^((1/2))(x)*y^((2))(x)=exp(x) == ? (d^0.5y)/dx^0.5-2x*y-1=0 == ? y^2*(d^0.5y)/dx^0.5-x^2-4x-4=0 == ? exp(y-1)*(d^0.5y)/dx^0.5-x=0 == ? y*(d^2y)/dx^2-(x-2)*(2x-4)=0 == ? y*(d^3y)/dx^3-6x^3-4x^2-4x-1=0 == ? exp(y-1)*(d^2y)/dx^2-exp(x)=0 == ? y^2*(d^2y)/dx^2-x^2-1=0 == ? 1/y^2*(d^2y)/dx^2-x^2-1=0 == ? (y-x-1)*(d^3y)/dx^3-(x-2)*(2x-4)*(3x-1)=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5-2x^2*y^2-8x^2=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5-2x*y^2-8x=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5-y^2-2y-2=0 == ? (d^0.5y)/dx^0.5-log(y-1)*exp(x)=0 == ? y*(d^2y)/dx^2-(dy/dx)^2-1=0 == ? (d^2y)/dx^2-asin(y-1)-sin(x)-x=0 == ? dy/dx*(x--y)-x--y-1 = 0 == ?


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