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数学分析

二级学科, 专业名称:数学分析, 门类/类别:理学     学科/类别:数学

数学分析(英语:mathematical analysis)区别于其他非数学类学生的高等数学内容,是分析学中最古老、最基本的分支,一般指以微积分学、无穷级数和解析函数等的 一般理论为主要内容,并包括它们的理论基础(实数、函数、测度和极限的基本理论)的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。

内容

数学分析研究的内容包括实数、复数、实函数及复变函数。数学分析是由微积分演进而来,在微积分发展至现代阶段中,从应用中的方法总结升华 为一类综合性分析方法,且初等微积分中也包括许多数学分析的基础概念及技巧,可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其几何有关,不过只要任一数学空间有定义邻域(拓扑空间)或是有针对两物件距离的定义(度量空间), 就可以用数学分析的方式进行分析。

三级学科

▪ 3410:微分学 ▪ 3420:积分学 ▪ 3430:级数论 ▪ 3499:数学分析其他学科

分支

重要概念

度量空間

数学中的度量空間是一個集合,而集合中兩個元素的[[距離]](叫做度量)有清楚的定义。

大部份的数学分析都是針對特定的度量空間,最常見的是[[数線]]、[[複数平面]]、[[欧几里得空间]]、其他[[向量空間]]及[[整数]]。数学中沒有度量的分包括有[[量測理論]](描述大小而不是距離)及[[泛函分析]](研究不需要距離概念的[[拓撲向量空間]])

度量空間是一個[[有序對]]$(M,d)$,其中$M$是一集合,而$d$為$M$中的[[度量]]〈也是函数〉 :$d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}$

使得針對任何的$x, y, z \in M$,以下的敘述都成立:

$d(x,y) \ge 0$    (非負性)
$d(x,y) = 0\,$ [[若且唯若]] $x = y\,$    ({{link-en|不可區別的等同原則|identity of indiscernibles}})
$d(x,y) = d(y,x)\,$    (對稱性)和
$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$    ([[三角不等式]])

数列

数列是一個有序的列表,数列像集合一樣都是由元素組成,但和集合不同,数列有順序的概念,而完全相同的元素可以在数列中出現一至多次。更準確的說法,数列可以用[[定义域]]為[[全序關係]][[可数集]] (例如[[自然数]])的函数來定义。

極限

数列最重要的性質是[[收斂]],若簡單的做非正式的定义,一数列若存在極限,表示此数列收斂。若繼續下非正式的定义,一個無窮数列''a''''n'',若在n非常大時接近一数值''x'',則稱此数列有極限,而其極限為''x'',因此極限也可以視為是数列 趨向的数值。因此針對数列''a''''n'',當''n'' → ∞時,''a''''n''和''x''之間的距離會趨近於0:
$\lim_{n\to\infty} a_n = x.$

函数

书单

  • 数学分析讲义
  • 高等数学讲义
    
    参阅
    1. 数学 - 数学符号
    2. 手册 - 数学手册
    3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
    4. 高等数学 = 代数 + 几何 + 分析
    5. 公式 - 图表 - 动画
    6. 书单 : - 数学 | 物理 | 化学 | 计算机 | 医学 - QQ群 614057790, 580127315 下截书
    7. 数学软件 - 数学手册计算器 = 数学手册 + 计算器
    8. 例题:
    
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