数学分析（英语：mathematical analysis）区别于其他非数学类学生的高等数学内容，是分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学、无穷级数和解析函数等的 一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数、测度和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。

内容

三级学科

分支

• 实分析: 是数学分析中，专门处理实数及实值函数的一个分支。这包括对 极限、微分、积分、 幂级数和测度的研究。
• 复分析: 是对从复平面到复平面的复数可微 函数的研究，和复数的解析函数 （或亚纯函数）有密切的关系。可以应用在许多不同的数学领域中，包括 代数几何、数论、应用数学等，也广为应用在物理领域中，例如 流体力学、热力学、 机械工程、电机工程及 量子场论。
• 泛函分析: 探讨函数空间及一些和 向量空间相关的结构（例如内积、 范数及拓扑空间）等，以及在作用在这些空间中的 线性算子，也会介绍例如巴拿赫空间以及 希尔伯特空间的概念。
• 傅立叶分析: 研究如何将一个函数或者信号表达为基本波形的叠加，并扩展成 傅立叶级数和傅立叶变换 的概念。
• 微分方程: 是未知数为一变数或多变数的函数，且方程和 函数其导数或高阶导数有关的方程。微分方程在 工程、物理、经济、 生物学中都是重要的一部分。
• 数值分析: 是研究数学分析中相关问题（和离散数学 不同）中有关数值近似（和 符号运算（英语 ：symbolic computation ）不同）算法的研究。许多问题的解析解是很难求得的，数值分析不在意解析解，比较著重在可接受的误差范围内找到近似解。

重要概念

度量空間

大部份的数学分析都是針對特定的度量空間，最常見的是[[数線]]、[[複数平面]]、[[欧几里得空间]]、其他[[向量空間]]及[[整数]]。数学中沒有度量的分包括有[[量測理論]]（描述大小而不是距離）及[[泛函分析]]（研究不需要距離概念的[[拓撲向量空間]]）

度量空間是一個[[有序對]]$(M,d)$，其中$M$是一集合，而$d$為$M$中的[[度量]]〈也是函数〉 :$d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}$

使得針對任何的$x, y, z \in M$，以下的敘述都成立：

$d(x,y) \ge 0$    （非負性）
$d(x,y) = 0\,$ [[若且唯若]] $x = y\,$    （{{link-en|不可區別的等同原則|identity of indiscernibles}}）
$d(x,y) = d(y,x)\,$    （對稱性）和
$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$    （[[三角不等式]]）

数列

極限

函数

书单